Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ và thỏa mãn $f(1)=-\dfrac{1}{2}$ và
$f(x)+x{f}'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{f}^{2}}(x),\forall x\in [1;2].$ Giá trị của tích phân $\int_{1}^{2} x f(x) d x$ bằng
A. $\ln \dfrac{4}{3}$.
B. $\ln \dfrac{3}{4}$.
C. $\ln 3$.
D. 0.
$f(x)+x{f}'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{f}^{2}}(x),\forall x\in [1;2].$ Giá trị của tích phân $\int_{1}^{2} x f(x) d x$ bằng
A. $\ln \dfrac{4}{3}$.
B. $\ln \dfrac{3}{4}$.
C. $\ln 3$.
D. 0.
Từ giả thiết, ta có $f(x)+x{f}'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{f}^{2}}(x)\Rightarrow \dfrac{f(x)+x{f}'(x)}{{{[xf(x)]}^{2}}}=2x+1$
$\Rightarrow {{\left[ \dfrac{1}{xf(x)} \right]}^{\prime }}=-2x-1\Rightarrow \dfrac{1}{xf(x)}=\int{(-2x-1)}dx\Rightarrow \dfrac{1}{xf(x)}=-{{x}^{2}}-x+C$.
$f(1)=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow C=0\Rightarrow xf(x)=-\dfrac{1}{x(x+1)}$
$\Rightarrow \int_{1}^{2}{x}f(x)dx=\int_{1}^{2}{\dfrac{-1}{x(x+1)}}dx=\int_{1}^{2}{\left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x} \right)}dx=\left. \ln \dfrac{x+1}{x} \right|_{1}^{2}=\ln \dfrac{3}{4}$.
$\Rightarrow {{\left[ \dfrac{1}{xf(x)} \right]}^{\prime }}=-2x-1\Rightarrow \dfrac{1}{xf(x)}=\int{(-2x-1)}dx\Rightarrow \dfrac{1}{xf(x)}=-{{x}^{2}}-x+C$.
$f(1)=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow C=0\Rightarrow xf(x)=-\dfrac{1}{x(x+1)}$
$\Rightarrow \int_{1}^{2}{x}f(x)dx=\int_{1}^{2}{\dfrac{-1}{x(x+1)}}dx=\int_{1}^{2}{\left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x} \right)}dx=\left. \ln \dfrac{x+1}{x} \right|_{1}^{2}=\ln \dfrac{3}{4}$.
Đáp án B.