Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; ق?1] thỏa mãn...

Cách 1: Tính: Đặt
Ta có:
Mà
Ta có
(1).

(2). .
Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra

Do đó .
Vậy .
Cách 2: Tương tự như trên ta có:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , với .
Ta có
Suy ra , mà nên
Do đó
Vậy .
Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho hàm số và liên tục trên đoạn .
Khi đó, ta có .
Chứng minh:
Trước hết ta có tính chât:
Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì
Xét tam thức bậc hai , với mọi
Lấy tích phân hai vế trên đoạn ta được 0 , với mọi
Coi là tam thức bậc hai theo biến nên ta có

(đpcm)