Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], thỏa mãn f(0)...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], thỏa mãn f(0) = 0, f(1) = 1 và

\int_{0}^{1} \frac{{[f^{'} (x)]}^{2}}{e^{x}} d x = \frac{1}{e - 1}

. Tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng
A.

\frac{e - 2}{e - 1}

.
B. 1.
C.

\frac{1}{(e - 1) (e - 2)}

.
D.

\frac{e - 1}{e - 2}

.

Lời giải: Chọn k sao cho

{\int_{0}^{1} [\frac{f^{'} (x)}{\sqrt{e^{x}}} + k \sqrt{e^{x}}]}^{2} d x = \int_{0}^{1} \frac{{[f^{'} (x)]}^{2}}{e^{x}} d x + 2 k \int_{0}^{1} f^{'} (x) d x + k^{2} \int_{0}^{1} e^{x} d x = 0

\Leftrightarrow \frac{1}{e - 1} + 2 k + k^{2} (e - 1) \Leftrightarrow k = - \frac{1}{e - 1} = \frac{1}{1 - e}

Khi đó

\frac{f^{'} (x)}{\sqrt{e^{x}}} = - k \sqrt{e^{x}} \Rightarrow f^{'} (x) = - k \sqrt{e^{x}} = \frac{1}{e - 1} e^{x} \Rightarrow f (x) = \frac{e^{x}}{e - 1} + C

Do

f (0) = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e - 1}

Do đó

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{e - 1} \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = {\frac{1}{e - 1} (e^{x} - 1) |}_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{e - 1} = \frac{e - 2}{e - 1}

.

Đáp án A.