Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm ${f}'(x)=x{{(x-1)}^{2}}(x-2),\forall...

Ta có : , trong đó là nghiệm bội chẵn, và là các nghiệm đơn. Đạo hàm : .
Cho .
Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình (nếu có) dấu của không đổi nên dấu của chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai phương trình còn lại.
Vậy hàm số có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình và phải có ba nghiệm phân biệt (khác và khác ).
Xét hàm số , ta có ; .
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình và phải có ba nghiệm phân biệt (khác và khác ) là :
.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của thỏa mãn là .