Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm ${f}'(x)=x{{(x-1)}^{2}}(x-2),\forall...

Ta có : ${f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right. $, trong đó $ x=1 $ là nghiệm bội chẵn, $ x=0 $ và $ x=2 $ là các nghiệm đơn. Đạo hàm : $ {g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right).{f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)$.
Cho ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-6x=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=1 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=1 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=1$ (nếu có) dấu của ${f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)$ không đổi nên dấu của ${g}'\left( x \right)$ chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai phương trình còn lại.
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0$ và ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=2$ phải có ba nghiệm phân biệt (khác $0$ và khác $2$ ).
Xét hàm số $h\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$, ta có ${h}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6x$ ; ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=h\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình $-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=m$ và $-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}=m-2$ phải có ba nghiệm phân biệt (khác $0$ và khác $2$ ) là :
$0<m-2<m<4\Leftrightarrow 2<m<4$.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m=3$.