Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm ${f}'(x)=x{{(x-1)}^{2}}(x-2),\forall...

Ta có : $f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=1\\ & x=2\end{array}$, trong đó $x=1$ là nghiệm bội chẵn, $x=0$ và $x=2$ là các nghiệm đơn. Đạo hàm : $g^{\prime }\left(x\right)=(3x^2-6x).f^{\prime }(x^3-3x^2+m)$.
Cho $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& 3x^2-6x=0\\ & x^3-3x^2+m=1\\ & x^3-3x^2+m=0\\ & x^3-3x^2+m=2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\\ & x^3-3x^2+m=1\\ & x^3-3x^2+m=0\\ & x^3-3x^2+m=2\end{array}$.
Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình $x^3-3x^2+m=1$ (nếu có) dấu của $f^{\prime }(x^3-3x^2+m)$ không đổi nên dấu của $g^{\prime }\left(x\right)$ chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai phương trình còn lại.
Vậy hàm số $y=g\left(x\right)$ có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình $x^3-3x^2+m=0$ và $x^3-3x^2+m=2$ phải có ba nghiệm phân biệt (khác $0$ và khác $2$ ).
Xét hàm số $h\left(x\right)=-x^3+3x^2$, ta có $h^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+6x$ ; $h^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\end{array}$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=h\left(x\right)$
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình $-x^3+3x^2=m$ và $-x^3+3x^2=m-2$ phải có ba nghiệm phân biệt (khác $0$ và khác $2$ ) là :
$0<m-2<m<4\iff 2<m<4$.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m=3$.