Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)={{x}^{2023}}.\left( {{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x-1-m \right)$ với $m$ là tham số thưc. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -2023;2023 \right)$ để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ ?
A. $2023$.
B. $2021$.
C. $2022$.
D. $2024$.
A. $2023$.
B. $2021$.
C. $2022$.
D. $2024$.
Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ $\Leftrightarrow f'(x)\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x-1-m\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ (vì ${{x}^{2023}}<0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ )
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{-{{x}^{2}}-2x+1}{x-1}$, $\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Xét hàm số $g(x)=\dfrac{-{{x}^{2}}-2x+1}{x-1}$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$. Ta có
$g'(x)=\dfrac{-{{x}^{2}}+2x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\text{ }g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1-\sqrt{2}(n) \\
& x=1+\sqrt{2}(l) \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng thiên thiên ta có $m\le -4+2\sqrt{2}$.
Mà $m$ nguyên và $m\in \left( -2023;2023 \right)$ nên có $2021$ giá trị.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x-1-m\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ (vì ${{x}^{2023}}<0,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ )
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{-{{x}^{2}}-2x+1}{x-1}$, $\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Xét hàm số $g(x)=\dfrac{-{{x}^{2}}-2x+1}{x-1}$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$. Ta có
$g'(x)=\dfrac{-{{x}^{2}}+2x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\text{ }g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1-\sqrt{2}(n) \\
& x=1+\sqrt{2}(l) \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Mà $m$ nguyên và $m\in \left( -2023;2023 \right)$ nên có $2021$ giá trị.
Đáp án B.
