Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-1)^2\left(x^2-2...

Theo đề ra, ta có .

Đặt , ta có phương trình trở thành phương trình . Mà ta có nên .

Ta có các nhận xét sau:
Vì là nghiệm bội chẵn nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm của nó cũng là nghiệm bội chẵn;
Do đó, hàm số không có điểm cực trị tại các nghiệm của phương trình (1);
Với mọi giá trị phương trình trên, không có phương nào, có nghiệm trùng với nghiệm của một trong 2 phương trình còn lại.
Mặt khác, ta có nghiệm của phương trình (2) và (3) lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng và .
Đặt , ta có:
Tập xác định .
, và .
Ta có bảng biến thiên và đồ thị của hàm số như sau:
Dựa vào đồ thị trên, ta thấy phương trình (2) và (3) nếu có 2 nghiệm phân biệt thì nghiệm của nó luôn luôn khác 4.
Vậy, hàm số có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) và (3) mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số ở trên, ta thấy giá trị của tham số để phương trình (2) và (3) có 2 nghiệm phân biệt là .
Vậy, có 15 giá trị nguyên dương của tham số thỏa yêu cầu bài toán.