Cho hàm số f(x) có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số f(x) có đạo hàm

f^{'} (x) = {(x - 1)}^{3} {(x + 3)}^{5} (x + 1) g (x) - \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 5}}, \forall x \in R .

Trong đó

g (x) > 0

,

\forall x \in R .

Hàm số

y = f (2 x + 1) + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

(- \infty; - \frac{3}{2}) .

B.

(- \frac{3}{2}; - 1) .

C.

(0; + \infty) .

D.

(- 1; 0) .

Ta có

y^{'} = 2 f^{'} (2 x + 1) + \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} . (1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}})

= 2 {(2 x)}^{3} {(2 x + 4)}^{5} (2 x + 2) g (2 x + 1) - \frac{2}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{2} - 2 (2 x + 1) + 5}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

= 2 {(2 x)}^{3} {(2 x + 4)}^{5} (2 x + 2) g (2 x + 1) - \frac{2}{\sqrt{4 x^{2} + 4}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} < 0

= 2 {(2 x)}^{3} {(2 x + 4)}^{5} (2 x + 2) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 2 \\ - 1 < x < 0 \end{array} .

Đáp án D.