Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số $y=3f(x+2)-{{x}^{3}}+3x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 1;+\infty \right).$
B. $\left( -\infty ;-1 \right).$
C. $\left( -1;0 \right).$
D. $\left( 0;2 \right).$
Hàm số $y=3f(x+2)-{{x}^{3}}+3x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 1;+\infty \right).$
B. $\left( -\infty ;-1 \right).$
C. $\left( -1;0 \right).$
D. $\left( 0;2 \right).$
Hướng Dẫn. Xét $y=3f\left( x+2 \right)-{{x}^{3}}+3x,y'=3.\left[ f'\left( x+2 \right)+\left( 1-{{x}^{2}} \right) \right].$
Ta có$f'\left( x+2 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
1\le x+2\le 3 \\
x+2\ge 4 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
-1\le x\le 1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right. \right.$
Ta có$\left\{ \begin{matrix}
f'\left( x+2 \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
1-{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow y'>0,\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Cách khác:
Xét $y=3f\left( x+2 \right)-{{x}^{3}}+3x,y'=3.\left[ f'\left( x+2 \right)+\left( 1-{{x}^{2}} \right) \right].$
Ta có $y'\left( \dfrac{3}{2} \right)=3.\left[ f'\left( \dfrac{7}{2} \right)-\dfrac{5}{4} \right]<0$ nên loại đáp án A, D. $y'(-2)=3.\left[ f'\left( 0 \right)-3 \right]<0$
nên loại đáp án B.
Ta có$f'\left( x+2 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
1\le x+2\le 3 \\
x+2\ge 4 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
-1\le x\le 1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right. \right.$
Ta có$\left\{ \begin{matrix}
f'\left( x+2 \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
1-{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left( -1;1 \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow y'>0,\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Cách khác:
Xét $y=3f\left( x+2 \right)-{{x}^{3}}+3x,y'=3.\left[ f'\left( x+2 \right)+\left( 1-{{x}^{2}} \right) \right].$
Ta có $y'\left( \dfrac{3}{2} \right)=3.\left[ f'\left( \dfrac{7}{2} \right)-\dfrac{5}{4} \right]<0$ nên loại đáp án A, D. $y'(-2)=3.\left[ f'\left( 0 \right)-3 \right]<0$
nên loại đáp án B.
Đáp án C.