Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+3$ trên đoạn [-1; 2]?
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+3$ trên đoạn [-1; 2]?
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Ta có $g'(x)=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}$
$=3\left( {{x}^{2}}-2x \right)f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left[ 3f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right]$
Với $x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]\Rightarrow f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Mặt khác $-{{x}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]$ suy ra $3f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Do đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$, ta có bảng biến thiên
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g(x)=g(0)=f(0)+3=5$.
$=3\left( {{x}^{2}}-2x \right)f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left[ 3f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right]$
Với $x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]\Rightarrow f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Mặt khác $-{{x}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]$ suy ra $3f'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Do đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$, ta có bảng biến thiên
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g(x)=g(0)=f(0)+3=5$.
Đáp án A.