Google
Câu hỏi: . Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+3$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]?$
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)-\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+3$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]?$
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x} \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)-{{x}^{4}}+2{{\text{x}}^{3}}$
$=3\left( {{x}^{2}}-2\text{x} \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x} \right)=\left( {{x}^{2}}-2\text{x} \right)\left[ 3{f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right]$
Với $x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Mặt khác $-{{x}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]$ suy ra $3{f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Do đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$, ta có bảng biến thiên
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+3=5$.
$=3\left( {{x}^{2}}-2\text{x} \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x} \right)=\left( {{x}^{2}}-2\text{x} \right)\left[ 3{f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right]$
Với $x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Mặt khác $-{{x}^{2}}\in \left[ -4;0 \right]$ suy ra $3{f}'\left( {{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\le 0\left( \forall x\in \left[ -1;2 \right] \right)$
Do đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$, ta có bảng biến thiên
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+3=5$.
Đáp án A.