Google
Câu hỏi: Cho hàm số f(x). Biết $f(0)=2$ và $f'(x)=2{{\sin }^{2}}x+3,\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f(x)dx}$ bằng
A. $\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi }{8}$
B. $\dfrac{{{\pi }^{2}}-4\pi }{8}$
C. $\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi -2}{8}$
D. $\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi +2}{8}$
A. $\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi }{8}$
B. $\dfrac{{{\pi }^{2}}-4\pi }{8}$
C. $\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi -2}{8}$
D. $\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi +2}{8}$
Ta có $f(x)=\int{f'(x)dx=}\int{(2{{\sin }^{2}}x+3)}dx=4x-\dfrac{\sin 2x}{2}+C$
Mà $f(0)=2$ nên $C=2$. Do đó $f(x)=-\dfrac{1}{2}\sin 2x+4x+2$
Vậy $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( -\dfrac{1}{2}\sin 2x+4x+2 \right)dx=\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi -2}{8}}$
Mà $f(0)=2$ nên $C=2$. Do đó $f(x)=-\dfrac{1}{2}\sin 2x+4x+2$
Vậy $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( -\dfrac{1}{2}\sin 2x+4x+2 \right)dx=\dfrac{{{\pi }^{2}}+4\pi -2}{8}}$
Đáp án C.