Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${f(x)=a{x^4}-x^3+2x+2}$ và hàm số ${g(x)=b{x^3}-c{x^2}+2}$, có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi ${S_1;{S_2}}$ là diện tích các hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ, biết ${S_1=\dfrac{221}{640}}$. Khi đó ${S_2}$ bằng:
A. ${\dfrac{1361}{640}}$.
B. ${\dfrac{271}{320}}$.
C. ${\dfrac{571}{640}}$.
D. ${\dfrac{791}{640}}$.
B. ${\dfrac{271}{320}}$.
C. ${\dfrac{571}{640}}$.
D. ${\dfrac{791}{640}}$.
Từ đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ${g(x)}$ với trục hoành chính là điểm cực trị của hàm số ${f(x)}$. Do đó: ${f'(x)=k.g(x)}$. Hay: ${4a{x^3}-3x^2+2=k\left(b{x^3}-c{x^2}+2\right)}$
Suy ra: ${\left\{\begin{aligned}& k=1\\ & b=3a\\ & c=3\\ \end{aligned}\right.}$. Hay: ${g(x)=4a{x^3}-3x^2+2}$, suy ra:
${f(x)-g(x)=a{x^4}-x^3+2x+2-4a{x^3}+3x^2-2=a{x^4}-\left(1+4a\right){x^3}+3x^2+2x}$
Khi đó: ${S_1=\int\limits_0^{\dfrac{1}{2}}{\left(f(x)-g(x)\right)dx}}$ ${=\int\limits_0^{\dfrac{1}{2}}{\left(a{x^4}-\left(1+4a\right){x^3}+3x^2+2x\right)dx}=\dfrac{221}{640}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}}$
Vậy ${{S}_{2}}=\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+2 \right)} dx=\dfrac{791}{640}.$
Suy ra: ${\left\{\begin{aligned}& k=1\\ & b=3a\\ & c=3\\ \end{aligned}\right.}$. Hay: ${g(x)=4a{x^3}-3x^2+2}$, suy ra:
${f(x)-g(x)=a{x^4}-x^3+2x+2-4a{x^3}+3x^2-2=a{x^4}-\left(1+4a\right){x^3}+3x^2+2x}$
Khi đó: ${S_1=\int\limits_0^{\dfrac{1}{2}}{\left(f(x)-g(x)\right)dx}}$ ${=\int\limits_0^{\dfrac{1}{2}}{\left(a{x^4}-\left(1+4a\right){x^3}+3x^2+2x\right)dx}=\dfrac{221}{640}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}}$
Vậy ${{S}_{2}}=\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+2 \right)} dx=\dfrac{791}{640}.$
Đáp án D.
