Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ ( với $a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$ ), đồ thị của f'(x) như sau:
Tập nghiệm của phương trình $f(x)=e$ có số phần tử là
A. 3
B. 1
C. 2
D. 4
Tập nghiệm của phương trình $f(x)=e$ có số phần tử là
A. 3
B. 1
C. 2
D. 4
Dựa vào hình vẽ, ta có
$f'(x)=4a.(x+1).(x-1).(x-4)=4a{{x}^{3}}-16a{{x}^{2}}-4ax+4a$
Suy ra $f(x)=\int{f'(x)dx}=\int{(4a{{x}^{3}}-16a{{x}^{2}}-4ax+4a)dx}$
$=a{{x}^{4}}-\dfrac{16}{3}a{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+4ax+e$
Do đó $f(x)=e\Leftrightarrow a{{x}^{4}}-\dfrac{16}{3}a{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+4ax=0$
$\Leftrightarrow ax\left( {{x}^{3}}-\dfrac{16}{3}{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}-\dfrac{16}{3}{{x}^{2}}-2x+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\left\{ 0;{{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}} \right\}$
Vậy phương trình $f(x)=e$ có 4 nghiệm phân biệt.
Từ f'(x) tìm ra f(x) nhờ công thức nguyên hàm: $f(x)=\int{f'(x)dx}$
Bài toán đưa về biện luận nghiệm của phương trình cơ bản
$f'(x)=4a.(x+1).(x-1).(x-4)=4a{{x}^{3}}-16a{{x}^{2}}-4ax+4a$
Suy ra $f(x)=\int{f'(x)dx}=\int{(4a{{x}^{3}}-16a{{x}^{2}}-4ax+4a)dx}$
$=a{{x}^{4}}-\dfrac{16}{3}a{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+4ax+e$
Do đó $f(x)=e\Leftrightarrow a{{x}^{4}}-\dfrac{16}{3}a{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+4ax=0$
$\Leftrightarrow ax\left( {{x}^{3}}-\dfrac{16}{3}{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}-\dfrac{16}{3}{{x}^{2}}-2x+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\left\{ 0;{{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}} \right\}$
Vậy phương trình $f(x)=e$ có 4 nghiệm phân biệt.
Note 7: Phương pháp chung
Từ đồ thị hàm số ta tìm ra nghiệm của f'(x) và viết dưới dạng nhân tử.Từ f'(x) tìm ra f(x) nhờ công thức nguyên hàm: $f(x)=\int{f'(x)dx}$
Bài toán đưa về biện luận nghiệm của phương trình cơ bản
Đáp án D.