Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+a$ có đồ thị...

Ta có $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$, theo đồ thị thì đa thức $f^{\prime }(x)$ có ba nghiệm phân biệt là $-1,0,1$ nên $f^{\prime }(x)=4ax(x+1)(x-1)=4a{x}^3-4ax\Rightarrow f(x)=a{x}^4-2a{x}^2+a=a{(x^2-1)}^2$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ ta có $a>0$ nên $f(x)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{\pm 1\}$.
$g^{\prime }(x)={\left[f(1-2x)\right]}^{\prime }f(2-x)+f(1-2x){\left[f(2-x)\right]}^{\prime }=-2f^{\prime }(1-2x)f(2-x)-f(1-2x)f^{\prime }(2-x)$ Xét $x\in ({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}})\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 1-2x\in (-2;0)\\ & 2-x\in ({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}})\end{array}$, dấu của $f^{\prime }(x)$ không cố định trên $({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}})$ nên ta không kết luận được tính đơn điệu của hàm số $g(x)$ trên $({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}})$.
Xét $x\in (-\mathrm{\infty };0)\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 1-2x\in (1;+\mathrm{\infty })\\ & 2-x\in (2;+\mathrm{\infty })\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& f^{\prime }(1-2x)>0\\ & f^{\prime }(2-x)>0\end{array}\Rightarrow g^{\prime }(x)<0$. Do đó, hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(-\mathrm{\infty };0)$.
Khi $x\in (0;2)\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 1-2x\in (-3;1)\\ & 2-x\in (0;2)\end{array}$, dấu của $f^{\prime }(x)$ không cố định trên $(-3;1)$ và $(0;2)$ nên ta không kết luận được tính đơn điệu của hàm số $g(x)$ trên $({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}})$.
Xét $x\in (3;+\mathrm{\infty })\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 1-2x\in (-\mathrm{\infty };-5)\\ & 2-x\in (-\mathrm{\infty };-1)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& f^{\prime }(1-2x)<0\\ & f^{\prime }(2-x)<0\end{array}\Rightarrow g^{\prime }(x)>0$.
Do đó, hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(3;+\mathrm{\infty })$.