Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+a$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Hàm số $y=g(x)=f\left( 1-2x \right)f\left( 2-x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
B. $\left( -\infty ;0 \right)$.
C. $\left( 0;2 \right)$.
D. $\left( 3;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;0 \right)$.
C. $\left( 0;2 \right)$.
D. $\left( 3;+\infty \right)$.
Ta có $f'(x)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d$, theo đồ thị thì đa thức $f'(x)$ có ba nghiệm phân biệt là $-1,0,1$ nên $f'(x)=4ax\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)=4a{{x}^{3}}-4ax\Rightarrow f(x)=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+a=a{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'(x)$ ta có $a>0$ nên $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$.
$g'(x)=\left[ f\left( 1-2x \right) \right]'f\left( 2-x \right)+f\left( 1-2x \right)\left[ f\left( 2-x \right) \right]'=-2f'\left( 1-2x \right)f\left( 2-x \right)-f\left( 1-2x \right)f'\left( 2-x \right)$ Xét $x\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( -2;0 \right) \\
& 2-x\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) \\
\end{aligned} \right. $, dấu của $ f'(x) $ không cố định trên $ \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) $ nên ta không kết luận được tính đơn điệu của hàm số $ g(x) $ trên $ \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
Xét $x\in \left( -\infty ;0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& 2-x\in \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 1-2x \right)>0 \\
& f'\left( 2-x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)<0 $. Do đó, hàm số $ g(x) $ nghịch biến trên $ \left( -\infty ;0 \right)$.
Khi $x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( -3;1 \right) \\
& 2-x\in \left( 0;2 \right) \\
\end{aligned} \right. $, dấu của $ f'(x) $ không cố định trên $ \left( -3;1 \right) $ và $ \left( 0;2 \right) $ nên ta không kết luận được tính đơn điệu của hàm số $ g(x) $ trên $ \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
Xét $x\in \left( 3;+\infty \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( -\infty ;-5 \right) \\
& 2-x\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 1-2x \right)<0 \\
& f'\left( 2-x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)>0$.
Do đó, hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'(x)$ ta có $a>0$ nên $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$.
$g'(x)=\left[ f\left( 1-2x \right) \right]'f\left( 2-x \right)+f\left( 1-2x \right)\left[ f\left( 2-x \right) \right]'=-2f'\left( 1-2x \right)f\left( 2-x \right)-f\left( 1-2x \right)f'\left( 2-x \right)$ Xét $x\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( -2;0 \right) \\
& 2-x\in \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) \\
\end{aligned} \right. $, dấu của $ f'(x) $ không cố định trên $ \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) $ nên ta không kết luận được tính đơn điệu của hàm số $ g(x) $ trên $ \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
Xét $x\in \left( -\infty ;0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& 2-x\in \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 1-2x \right)>0 \\
& f'\left( 2-x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)<0 $. Do đó, hàm số $ g(x) $ nghịch biến trên $ \left( -\infty ;0 \right)$.
Khi $x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( -3;1 \right) \\
& 2-x\in \left( 0;2 \right) \\
\end{aligned} \right. $, dấu của $ f'(x) $ không cố định trên $ \left( -3;1 \right) $ và $ \left( 0;2 \right) $ nên ta không kết luận được tính đơn điệu của hàm số $ g(x) $ trên $ \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$.
Xét $x\in \left( 3;+\infty \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2x\in \left( -\infty ;-5 \right) \\
& 2-x\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 1-2x \right)<0 \\
& f'\left( 2-x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)>0$.
Do đó, hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$.
Đáp án D.