Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Biết rằng miền tô đậm (như hình vẽ) có diện tích bằng $\dfrac{32}{15}$ và điểm $A(2 ; c)$. Hàm số $y=f(2 x-1)-4 x^{2}-4 x$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(2 ;+\infty)$.
B. $(-\infty ; 1)$.
C. $(-1 ; 2)$.
D. $(-1 ;+\infty)$.
A. $(2 ;+\infty)$.
B. $(-\infty ; 1)$.
C. $(-1 ; 2)$.
D. $(-1 ;+\infty)$.
Do điểm $A(2 ; c)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c$ nên $b=-4 a$
Khi đó $f(x)=a x^{4}-4 a x^{2}+c$. Phương trình $f(x)=c$ có 3 nghiệm $x=0 ; x=2 ; x=-2$.
Theo giả thiết có $\int_{-2}^{0}\left[c-\left(a x^{4}-4 a x^{2}+c\right)\right] \mathrm{d} x=\dfrac{32}{15} \Leftrightarrow \int_{-2}^{0}\left(4 a x^{2}-a x^{4}\right) \mathrm{d} x=\dfrac{32}{15}$ $\left.
\Leftrightarrow\left(\dfrac{4 a x^{3}}{3}-\dfrac{a x^{5}}{5}\right)\right|_{-2} ^{0}=\dfrac{32}{15} \Leftrightarrow \dfrac{32 a}{3}-\dfrac{32 a}{5}=\dfrac{32}{15} \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b=-2$
Khi đó $f(x)=\dfrac{1}{2} x^{4}-2 x^{2}+c$.
Do đó ta có hàm số $y=f(2 x-1)-4 x^{2}-4 x=\dfrac{1}{2}(2 x-1)^{4}-2(2 x-1)^{2}+c-4 x^{2}-4 x$
$y^{\prime}=4(2 x-1)^{3}-8(2 x-1)-8 x-4=16 x^{2}(2 x-3)$
$y^{\prime}>0 \Leftrightarrow x>\dfrac{3}{2} \Rightarrow$ Hàm số $y=f(2 x-1)-4 x^{2}-4 x$ đồng biến trên khoảng $\left(\dfrac{3}{2} ;+\infty\right)$.
Vậy hàm số $y=f(2 x-1)-4 x^{2}-4 x$ đồng biến trên khoảng $(2 ;+\infty)$.
Khi đó $f(x)=a x^{4}-4 a x^{2}+c$. Phương trình $f(x)=c$ có 3 nghiệm $x=0 ; x=2 ; x=-2$.
Theo giả thiết có $\int_{-2}^{0}\left[c-\left(a x^{4}-4 a x^{2}+c\right)\right] \mathrm{d} x=\dfrac{32}{15} \Leftrightarrow \int_{-2}^{0}\left(4 a x^{2}-a x^{4}\right) \mathrm{d} x=\dfrac{32}{15}$ $\left.
\Leftrightarrow\left(\dfrac{4 a x^{3}}{3}-\dfrac{a x^{5}}{5}\right)\right|_{-2} ^{0}=\dfrac{32}{15} \Leftrightarrow \dfrac{32 a}{3}-\dfrac{32 a}{5}=\dfrac{32}{15} \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b=-2$
Khi đó $f(x)=\dfrac{1}{2} x^{4}-2 x^{2}+c$.
Do đó ta có hàm số $y=f(2 x-1)-4 x^{2}-4 x=\dfrac{1}{2}(2 x-1)^{4}-2(2 x-1)^{2}+c-4 x^{2}-4 x$
$y^{\prime}=4(2 x-1)^{3}-8(2 x-1)-8 x-4=16 x^{2}(2 x-3)$
$y^{\prime}>0 \Leftrightarrow x>\dfrac{3}{2} \Rightarrow$ Hàm số $y=f(2 x-1)-4 x^{2}-4 x$ đồng biến trên khoảng $\left(\dfrac{3}{2} ;+\infty\right)$.
Vậy hàm số $y=f(2 x-1)-4 x^{2}-4 x$ đồng biến trên khoảng $(2 ;+\infty)$.
Đáp án A.