Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+bx+c$ và $g(x)=b{{x}^{3}}+ax+d,(a>0)$ có đồ thị như hình vẽ.
Biết rằng tổng diện tích miền kẻ sọc như hình vẽ bằng $\dfrac{7}{3}$. Giá trị của $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{f(\ln x)}{x}\text{d}x}$ bằng
A. $\dfrac{7}{6}$.
B. $-\dfrac{7}{3}$.
C. $-\dfrac{5}{3}$.
D. $\dfrac{7}{3}$.
A. $\dfrac{7}{6}$.
B. $-\dfrac{7}{3}$.
C. $-\dfrac{5}{3}$.
D. $\dfrac{7}{3}$.
Xét $I=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{f(\ln x)}{x}\text{d}x}$ Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{x}dx$.
Đổi cận $x=1\Rightarrow t=0$
$x=e\Rightarrow t=1$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}$
Dựa vào hình vẽ ta có ${{S}_{1}}={{S}_{3}}$ (phần chưa gạch)
Mà ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\dfrac{7}{3}\Rightarrow {{S}_{3}}+{{S}_{2}}=\dfrac{7}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]}+\int\limits_{0}^{1}{\left[ -g\left( x \right) \right]}=\dfrac{7}{3}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=-\dfrac{7}{3}}$.
Đổi cận $x=1\Rightarrow t=0$
$x=e\Rightarrow t=1$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}$
Mà ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\dfrac{7}{3}\Rightarrow {{S}_{3}}+{{S}_{2}}=\dfrac{7}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]}+\int\limits_{0}^{1}{\left[ -g\left( x \right) \right]}=\dfrac{7}{3}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=-\dfrac{7}{3}}$.
Đáp án B.
