Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=a x^2+b x+c$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$. Biết rằng hàm số $g(x)=f(x) \cdot e^{-2 x}$ có hai giá tri cực trị là 2 và $-e^6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2 g(x)$ và $h(x)=(2 a x+b) \cdot e^{-2 x}$ bằng
A. $2+\dfrac{1}{e^6}$.
B. $e^6-2$.
C. $2+e^6$.
D. $2-\dfrac{1}{e^6}$.
A. $2+\dfrac{1}{e^6}$.
B. $e^6-2$.
C. $2+e^6$.
D. $2-\dfrac{1}{e^6}$.
Ta có $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2ax+b.$
$\begin{aligned}
& g(x)=f(x)\cdot {{e}^{-2x}} \\
& \Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)\cdot {{e}^{-2x}}-2f\left( x \right).{{e}^{-2x}}={{e}^{-2x}}\left[ {f}'(x)-2f\left( x \right) \right]=-{{e}^{-2x}}\left[ 2f\left( x \right)-\left( 2ax+b \right) \right] \\
\end{aligned}$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ 2f\left( x \right)-\left( 2ax+b \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.,\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right).$
Phương trình hoành độ giao điểm
$2g(x)=h\left( x \right)\Leftrightarrow 2f(x)\cdot {{e}^{-2x}}=(2ax+b)\cdot {{e}^{-2x}}\Leftrightarrow {{e}^{-2x}}\left[ 2f(x)-(2ax+b) \right]=0\Leftrightarrow g'\left( x \right)=0.$
Diện tích hình phẳng cần tìm
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \left( 2f\left( x \right)-h\left( x \right) \right) \right|}\text{d}x=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \left( 2f\left( x \right)-h\left( x \right) \right) \right|}\text{d}x=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| g'\left( x \right) \right|}\text{d}x=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x \right|=\left| \left. g\left( x \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|$
$\left| g\left( {{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{1}} \right) \right|=\left| 2+{{e}^{6}} \right|=2+{{e}^{6}}.$
$\begin{aligned}
& g(x)=f(x)\cdot {{e}^{-2x}} \\
& \Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)\cdot {{e}^{-2x}}-2f\left( x \right).{{e}^{-2x}}={{e}^{-2x}}\left[ {f}'(x)-2f\left( x \right) \right]=-{{e}^{-2x}}\left[ 2f\left( x \right)-\left( 2ax+b \right) \right] \\
\end{aligned}$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ 2f\left( x \right)-\left( 2ax+b \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.,\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right).$
Phương trình hoành độ giao điểm
$2g(x)=h\left( x \right)\Leftrightarrow 2f(x)\cdot {{e}^{-2x}}=(2ax+b)\cdot {{e}^{-2x}}\Leftrightarrow {{e}^{-2x}}\left[ 2f(x)-(2ax+b) \right]=0\Leftrightarrow g'\left( x \right)=0.$
Diện tích hình phẳng cần tìm
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \left( 2f\left( x \right)-h\left( x \right) \right) \right|}\text{d}x=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \left( 2f\left( x \right)-h\left( x \right) \right) \right|}\text{d}x=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| g'\left( x \right) \right|}\text{d}x=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x \right|=\left| \left. g\left( x \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|$
$\left| g\left( {{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{1}} \right) \right|=\left| 2+{{e}^{6}} \right|=2+{{e}^{6}}.$
Đáp án C.