Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)>0$ xác định và có đạo hàm trên đoạn $[0 ; 1]$, thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}g(x)=1+2018 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t \\ g(x)=f^2(x)\end{array}\right.$. Tính $I=\int_0^1 \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x$.
A. $I=\dfrac{2019}{2}$.
B. $I=\dfrac{1009}{2}$.
C. $I=505$.
D. $I=\dfrac{1011}{2}$.
A. $I=\dfrac{2019}{2}$.
B. $I=\dfrac{1009}{2}$.
C. $I=505$.
D. $I=\dfrac{1011}{2}$.
Từ giả thiết, ta có $\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(x)=2018 f(x) \\ g^{\prime}(x)=2 f^{\prime}(x) \cdot f(x)\end{array} \Rightarrow 2018 f(x)=2 f^{\prime}(x) \cdot f(x) \Leftrightarrow 2 f(x)\left[1009-f^{\prime}(x)\right]=\right.$ $0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)=0 \\ f^{\prime}(x)=1009\end{array}\right.$.
* $f(x)=0$ (loại).
$* f^{\prime}(x)=1009 \Rightarrow f(x)=1009 x+C$.
Khi đó ta được:
$1+2018 \int_0^x(1009 t+C) \mathrm{d} t=(1009 x+C)^2 \Leftrightarrow 1+\left.2018\left(\dfrac{1009}{2} t^2+C t\right)\right|_0 ^x=(1009 x+C)^2 \Leftrightarrow$ $C^2=1$
Suy ra $f(x)=1009 x+1$ hoặc $f(x)=1009 x-1$ (loại vì $f(x)>0, \forall x \in[0 ; 1]$ ).
Khi đó $I=\int_0^1 \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1(1009 x+1) \mathrm{d} x=\dfrac{1011}{2}$.
* $f(x)=0$ (loại).
$* f^{\prime}(x)=1009 \Rightarrow f(x)=1009 x+C$.
Khi đó ta được:
$1+2018 \int_0^x(1009 t+C) \mathrm{d} t=(1009 x+C)^2 \Leftrightarrow 1+\left.2018\left(\dfrac{1009}{2} t^2+C t\right)\right|_0 ^x=(1009 x+C)^2 \Leftrightarrow$ $C^2=1$
Suy ra $f(x)=1009 x+1$ hoặc $f(x)=1009 x-1$ (loại vì $f(x)>0, \forall x \in[0 ; 1]$ ).
Khi đó $I=\int_0^1 \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1(1009 x+1) \mathrm{d} x=\dfrac{1011}{2}$.
Đáp án D.