Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=6.$ Tính $\int\limits_{0}^{1}{\left[ xf\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right) \right]dx}.$
A. 0
B. 1.
C. $-1.$
D. $\dfrac{1}{6}.$
A. 0
B. 1.
C. $-1.$
D. $\dfrac{1}{6}.$
Ta có $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}=A-B.$
* Tính $A=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}.$
Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx.$ Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ và $x=1\Rightarrow t=1.$
Khi đó $A=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=3.$
* Tính $A=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}.$
Đặt $t={{x}^{3}}\Rightarrow dt=3{{x}^{2}}dx.$ Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ và $x=1\Rightarrow t=1.$
Khi đó $A=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2.$
Vậy $I=A-B=3-2=1.$
* Tính $A=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}.$
Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx.$ Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ và $x=1\Rightarrow t=1.$
Khi đó $A=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=3.$
* Tính $A=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}.$
Đặt $t={{x}^{3}}\Rightarrow dt=3{{x}^{2}}dx.$ Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ và $x=1\Rightarrow t=1.$
Khi đó $A=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2.$
Vậy $I=A-B=3-2=1.$
Đáp án B.