Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e, \left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị của đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ.
Biết rằng $e>n$. Số điểm cực trị của hàm số $y={f}'\left( f\left( x \right)-2x \right)$ bằng
A. $7$.
B. $10$.
C. $14$.
D. $6$.
Biết rằng $e>n$. Số điểm cực trị của hàm số $y={f}'\left( f\left( x \right)-2x \right)$ bằng
A. $7$.
B. $10$.
C. $14$.
D. $6$.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm số $y=f'\left( f\left( x \right)-2x \right)$ và nghiệm phương trình $y'=0.$
Cách giải:
Ta có $y=f'\left( f\left( x \right)-2x \right)\Rightarrow y'=\left( f'\left( x \right)-2 \right).f''\left( f\left( x \right)-2x \right)$
$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left( f'\left( x \right)-2 \right).f''\left( f\left( x \right)-2x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=2 \\
& f\left( x \right)-2x=m\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)-2x=n\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) $f'\left( x \right)=2$ có 3 nghiệm phân biệt.
+) Từ (1) ta có $m<0$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-2x\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}<m \\
& {{x}_{2}}=0 \\
& {{x}_{3}}>n \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Nên $f\left( x \right)=m$ có 2 nghiệm phân biệt vì $e>n>m$
$f\left( x \right)=n$ có 2 nghiệm phân biệt vì $e>n$
Vậy tổng số cực trị là 7.
Tính đạo hàm của hàm số $y=f'\left( f\left( x \right)-2x \right)$ và nghiệm phương trình $y'=0.$
Cách giải:
Ta có $y=f'\left( f\left( x \right)-2x \right)\Rightarrow y'=\left( f'\left( x \right)-2 \right).f''\left( f\left( x \right)-2x \right)$
$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left( f'\left( x \right)-2 \right).f''\left( f\left( x \right)-2x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=2 \\
& f\left( x \right)-2x=m\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)-2x=n\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) $f'\left( x \right)=2$ có 3 nghiệm phân biệt.
+) Từ (1) ta có $m<0$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-2x\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}<m \\
& {{x}_{2}}=0 \\
& {{x}_{3}}>n \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Nên $f\left( x \right)=m$ có 2 nghiệm phân biệt vì $e>n>m$
$f\left( x \right)=n$ có 2 nghiệm phân biệt vì $e>n$
Vậy tổng số cực trị là 7.
Đáp án A.