Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\left( b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)$ đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)$ và có $f\left( {{x}_{1}} \right)=1,f\left( {{x}_{2}} \right)=16,f\left( {{x}_{3}} \right)=9$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ và trục hoành bằng
A. $6$.
B. $4$.
C. $8$.
D. $2$.
A. $6$.
B. $4$.
C. $8$.
D. $2$.
Do hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\left( b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)$ đạt cực trị tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)$ nên ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d$ có 3 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)$.
Vì vậy $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.;\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ và trục hoành được tính bởi:
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| \dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}} \right|}dx=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}}dx \right|+\left| \int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}}dx \right|=\left| \left. 2\sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|+\left| \left. 2\sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}} \right|=6+2=8$.
Vì vậy $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.;\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ và trục hoành được tính bởi:
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| \dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}} \right|}dx=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}}dx \right|+\left| \int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}}dx \right|=\left| \left. 2\sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|+\left| \left. 2\sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}} \right|=6+2=8$.
Đáp án C.