Cho hàm số $f\left( x...

Ta có: $f\left(x\right)=3x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=12x^3+3a{x}^2+2bx+c$
Theo đề ta có: $f^{\prime }(-2)=0\iff 12a-4b+c=96;$ $f^{\prime }(-1)=0\iff 3a-2b+c=12.$
Và $f^{\prime }\left(1\right)=0\iff 3a+2b+c=-12.$
Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{rl}& 12a-4b+c=96\\ & 3a-2b+c=12\\ & 3a+2b+c=-12\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a=8\\ & b=-6\\ & c=-24\end{array}$.
Khi đó $f^{\prime }\left(x\right)=12x^3+24x^2-12x-24$ suy ra $f\left(x\right)=3x^4+8x^3-6x^2-24x+d$
Lúc này ba điểm cục trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ có tọa độ lần lượt là $(-2;8+d)$, $(-1;13+d)$ và $(1;-19+d)$.
Xét hàm số bậc hai $y=m{x}^2+nx+q(m,n,q\in \mathbb{R})$ đi qua ba điểm $(-2;8)$, $(-1;13)$ và $(1;-19)$. Khi đó ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{rl}& 4m-2n+q=8\\ & m-n+q=13\\ & m+n+q=-19\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m=-7\\ & n=-16\\ & p=4\end{array}\Rightarrow y=-7x^2-16x+4$. Suy ra $g\left(x\right)=-7x^2-16x+4+d.$
Ta có $f\left(x\right)-g\left(x\right)=3x^4+8x^3+x^2-8x-4=(3x+2)(x^2-1)(x+2)$.
Vậy diện tích giới hạn bởi hai đường $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là
$S=-\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}(3x^4+8x^3+x^2-8x-4)\text{d}x+\underset{-1}{\overset{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}{\int }}(3x^4+8x^3+x^2-8x-4)\text{d}x-\underset{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}{\overset{1}{\int }}(3x^4+8x^3+x^2-8x-4)\text{d}x$
$={\displaystyle \frac{2948}{405}}.$