Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right)$ có ba điểm cực trị là $-2$, $-1$ và $1$. Gọi $y=g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{500}{81}$.
B. $\dfrac{36}{5}$.
C. $\dfrac{2932}{405}$.
D. $\dfrac{2948}{405}$.
A. $\dfrac{500}{81}$.
B. $\dfrac{36}{5}$.
C. $\dfrac{2932}{405}$.
D. $\dfrac{2948}{405}$.
Ta có: $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \Rightarrow {f}'\left( x \right)=12{{x}^{3}}+3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Theo đề ta có: ${f}'\left( -2 \right)=0\Leftrightarrow 12a-4b+c=96 ;$ ${f}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow 3a-2b+c=12.$
Và ${f}'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow 3a+2b+c=-12.$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 12a-4b+c=96 \\
& 3a-2b+c=12 \\
& 3a+2b+c=-12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=8 \\
& b=-6 \\
& c=-24 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)=12{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}-12x-24$ suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-24x+d$
Lúc này ba điểm cục trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ có tọa độ lần lượt là $\left( -2; 8+d \right)$, $\left( -1; 13+d \right)$ và $\left( 1; -19+d \right)$.
Xét hàm số bậc hai $y=m{{x}^{2}}+nx+q \left( m,n,q\in \mathbb{R} \right)$ đi qua ba điểm $\left( -2; 8 \right)$, $\left( -1; 13 \right)$ và $\left( 1; -19 \right)$. Khi đó ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& 4m-2n+q=8 \\
& m-n+q=13 \\
& m+n+q=-19 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-7 \\
& n=-16 \\
& p=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=-7{{x}^{2}}-16x+4 $. Suy ra $ g\left( x \right)=-7{{x}^{2}}-16x+4+d.$
Ta có $f\left( x \right)-g\left( x \right)=3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4=\left( 3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+2 \right)$.
Vậy diện tích giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là
$S=-\int\limits_{-2}^{-1}{\left( 3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4 \right)\text{d}x}+\int\limits_{-1}^{-\dfrac{2}{3}}{\left( 3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4 \right)\text{d}x}-\int\limits_{-\dfrac{2}{3}}^{1}{\left( 3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4 \right)\text{d}x}$
$=\dfrac{2948}{405}.$
Theo đề ta có: ${f}'\left( -2 \right)=0\Leftrightarrow 12a-4b+c=96 ;$ ${f}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow 3a-2b+c=12.$
Và ${f}'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow 3a+2b+c=-12.$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 12a-4b+c=96 \\
& 3a-2b+c=12 \\
& 3a+2b+c=-12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=8 \\
& b=-6 \\
& c=-24 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)=12{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}-12x-24$ suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-24x+d$
Lúc này ba điểm cục trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ có tọa độ lần lượt là $\left( -2; 8+d \right)$, $\left( -1; 13+d \right)$ và $\left( 1; -19+d \right)$.
Xét hàm số bậc hai $y=m{{x}^{2}}+nx+q \left( m,n,q\in \mathbb{R} \right)$ đi qua ba điểm $\left( -2; 8 \right)$, $\left( -1; 13 \right)$ và $\left( 1; -19 \right)$. Khi đó ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& 4m-2n+q=8 \\
& m-n+q=13 \\
& m+n+q=-19 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-7 \\
& n=-16 \\
& p=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=-7{{x}^{2}}-16x+4 $. Suy ra $ g\left( x \right)=-7{{x}^{2}}-16x+4+d.$
Ta có $f\left( x \right)-g\left( x \right)=3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4=\left( 3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+2 \right)$.
$S=-\int\limits_{-2}^{-1}{\left( 3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4 \right)\text{d}x}+\int\limits_{-1}^{-\dfrac{2}{3}}{\left( 3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4 \right)\text{d}x}-\int\limits_{-\dfrac{2}{3}}^{1}{\left( 3{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-8x-4 \right)\text{d}x}$
$=\dfrac{2948}{405}.$
Đáp án D.