Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ ( $b,c,d,e\in \mathbb{R}$ ) có các giá trị cực trị là $1,4$ và $9$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ và trục hoành bằng
A. $4.$
B. $6.$
C. $2.$
D. $8.$
A. $4.$
B. $6.$
C. $2.$
D. $8.$
+) Gọi ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$ là ba điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$. Ta có bảng biến thiên:
+) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ và trục hoành là:
$g\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{i}}\text{ (}i=1,2,3) \\
& f\left( {{x}_{i}} \right)>0\text{ (TM)} \\
\end{aligned} \right.$
+) Diện tích cần tìm là $S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}\text{d}x}-\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}\text{d}x}=2\left. \sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}-2\left. \sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}=4\sqrt{f\left( {{x}_{2}} \right)}-2\sqrt{f\left( {{x}_{1}} \right)}-2\sqrt{f\left( {{x}_{3}} \right)}=6.$
$g\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{i}}\text{ (}i=1,2,3) \\
& f\left( {{x}_{i}} \right)>0\text{ (TM)} \\
\end{aligned} \right.$
+) Diện tích cần tìm là $S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}\text{d}x}-\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}\text{d}x}=2\left. \sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}-2\left. \sqrt{f\left( x \right)} \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}=4\sqrt{f\left( {{x}_{2}} \right)}-2\sqrt{f\left( {{x}_{1}} \right)}-2\sqrt{f\left( {{x}_{3}} \right)}=6.$
Đáp án B.