Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)x$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 7 điểm cực trị?
A. $27$.
B. $31$.
C. $28$.
D. $30$.
A. $27$.
B. $31$.
C. $28$.
D. $30$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)x$. Ta có ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4-m$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow m=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4$.
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ Hàm số $f\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow $ Phương trình $m=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4$ có 3 nghiệm dương phân biệt. (*)
Xét hàm số $h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4$. Ta có: ${h}'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-72x+60$ ; ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có $\left( * \right)\Leftrightarrow 4<m<32$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 5;6;7;...;31 \right\}$.
Vậy có 27 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow m=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4$.
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ Hàm số $f\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow $ Phương trình $m=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4$ có 3 nghiệm dương phân biệt. (*)
Xét hàm số $h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4$. Ta có: ${h}'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-72x+60$ ; ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Vậy có 27 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.