Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số $g\left( x \right)=f\left( f\left( {{x}^{2}}+2 \right) \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ là
A. 1.
B. $1-\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{3}$.
D. $1+\sqrt{3}$.
A. 1.
B. $1-\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{3}$.
D. $1+\sqrt{3}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=c \\
& f\left( 1 \right)=a+b+c+\dfrac{1}{6} \\
& f\left( 2 \right)=4a+2b+c+\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo giả thiết $f(0)=f(1)=f(2)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=\dfrac{-1}{6} \\
& 4a+2b=\dfrac{-4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra: $f(x)=\dfrac{1}{6}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+c$.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ khi ${g}'(x)=2x{f}'({{x}^{2}}+2){f}'(f({{x}^{2}}+2))\le 0,\forall x\in (0;1)$.
Ta có: ${f}'(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{1}{3}\Rightarrow {f}'(x)\le 0\Leftrightarrow 1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\le x\le 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Ta thấy $\forall x\in (0;1)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& 2x>0 \\
& {f}'({{x}^{2}}+2)>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\forall x\in (0;1),{g}'(x)\le 0\Leftrightarrow {f}'(f({{x}^{2}}+2))\le 0$
Xét $0<x<1\Rightarrow 2<{{x}^{2}}+2<3$, vì ${f}'(x)>0,\forall x\in (2;3)$ nên $f(x)$ đồng biến trên $(2;3)$.
Do đó: $f(2)<f({{x}^{2}}+2)<f(3)$.
Suy ra $1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\le f(2)<f(3)\le 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f(2)\ge 1-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
& f(3)\le 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\le c\le \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $\min c+\max c=1$.
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm hợp $y=f(u(x))$ đơn điệu, cô lập tham số và khảo sát tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
& f\left( 0 \right)=c \\
& f\left( 1 \right)=a+b+c+\dfrac{1}{6} \\
& f\left( 2 \right)=4a+2b+c+\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo giả thiết $f(0)=f(1)=f(2)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=\dfrac{-1}{6} \\
& 4a+2b=\dfrac{-4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra: $f(x)=\dfrac{1}{6}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+c$.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ khi ${g}'(x)=2x{f}'({{x}^{2}}+2){f}'(f({{x}^{2}}+2))\le 0,\forall x\in (0;1)$.
Ta có: ${f}'(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-x+\dfrac{1}{3}\Rightarrow {f}'(x)\le 0\Leftrightarrow 1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\le x\le 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Ta thấy $\forall x\in (0;1)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& 2x>0 \\
& {f}'({{x}^{2}}+2)>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\forall x\in (0;1),{g}'(x)\le 0\Leftrightarrow {f}'(f({{x}^{2}}+2))\le 0$
Xét $0<x<1\Rightarrow 2<{{x}^{2}}+2<3$, vì ${f}'(x)>0,\forall x\in (2;3)$ nên $f(x)$ đồng biến trên $(2;3)$.
Do đó: $f(2)<f({{x}^{2}}+2)<f(3)$.
Suy ra $1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\le f(2)<f(3)\le 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f(2)\ge 1-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
& f(3)\le 1+\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\le c\le \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $\min c+\max c=1$.
Note 52: Phương pháp chung
Bước 1: Sử dụng các giả thiết về $f({{x}_{i}})={{a}_{i}}$ để tìm ra giá trị các tham số và suy ra được công thức hàm số $y=f(x)$ chứa ít tham số nhất.Bước 2: Tìm điều kiện để hàm hợp $y=f(u(x))$ đơn điệu, cô lập tham số và khảo sát tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Đáp án A.