Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{m}^{2}}{{e}^{4x}}+\dfrac{1}{3}m{{e}^{3x}}-\dfrac{1}{2}{{e}^{2x}}-\left( {{m}^{2}}+m-1 \right){{e}^{x}}$. Gọi $S$ là tập hợp những giá trị của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)$ không có cực trị trên $\mathbb{R}$. Tổng của tất cả các phần tử của tập $S$ bằng
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $-1$.
C. $-\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $-1$.
C. $-\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Ta có ${f}'\left( x \right)={{m}^{2}}{{e}^{4x}}+m{{e}^{3x}}-{{e}^{2x}}-\left( {{m}^{2}}+m-1 \right){{e}^{x}}$.
Khi đó
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{e}^{3x}}+m{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}=1 \\
& {{m}^{2}}{{e}^{2x}}+\left( {{m}^{2}}+m \right){{e}^{x}}+{{m}^{2}}+m-1=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để thoả mãn thì phương trình (1) có nghiệm $x=0$, hay $3{{m}^{2}}+2m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
* Với $m=-1$ ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}\left( {{e}^{x}}+1 \right)\ge 0$ (thoả mãn).
* Với $m=\dfrac{1}{3}$ ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}\left( \dfrac{1}{9}{{e}^{x}}+\dfrac{5}{9} \right)\ge 0$ (thoả mãn).
Khi đó $-1+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2}{3}$.
Khi đó
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{e}^{3x}}+m{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}=1 \\
& {{m}^{2}}{{e}^{2x}}+\left( {{m}^{2}}+m \right){{e}^{x}}+{{m}^{2}}+m-1=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để thoả mãn thì phương trình (1) có nghiệm $x=0$, hay $3{{m}^{2}}+2m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
* Với $m=-1$ ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}\left( {{e}^{x}}+1 \right)\ge 0$ (thoả mãn).
* Với $m=\dfrac{1}{3}$ ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}\left( \dfrac{1}{9}{{e}^{x}}+\dfrac{5}{9} \right)\ge 0$ (thoả mãn).
Khi đó $-1+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2}{3}$.
Đáp án C.