Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ với $a,b,c,d,e$ là các số thực. Đồ thị của hai hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={f}''\left( x \right)$ cắt nhau tại các điểm trong đó có hai điểm là $M,N$ (tham khảo hình vẽ).
Biết diện tích miền gạch chéo bằng 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={f}''\left( x \right)$.
B. $64$.
C. $32$.
D. $16$.
A. $8$.B. $64$.
C. $32$.
D. $16$.
Ta có $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d\Rightarrow {f}''\left( x \right)=12a{{x}^{2}}+6bx+2c$
Ta có ${f}''\left( -1 \right)={f}''\left( 1 \right)\Leftrightarrow 12a-6b+2c=12a+6b+2c\Leftrightarrow b=0$
Với $b=0$ ta có ${f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)=4a{{x}^{3}}-12a{{x}^{2}}+2cx+d-2c$
Mặt khác, gọi $x=k$ là nghiệm của còn lại của phương trình ${f}'\left( x \right)={f}''\left( x \right)$, khi đó:
${f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)=4a\left( x-k \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=4a\left( x-k \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)=4a{{x}^{3}}-4ka{{x}^{2}}-4ax+4ka$
$\Rightarrow -4ka=-12a\Leftrightarrow k=3\Rightarrow {f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)=4a\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)$
Ta có $S=\int\limits_{-1}^{1}{\left[ {f}''\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right]\text{d}x}=-\int\limits_{-1}^{1}{4a\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\text{d}x}=8\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={f}''\left( x \right)$ là $S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| -2\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \right|\text{d}x}=16$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d\Rightarrow {f}''\left( x \right)=12a{{x}^{2}}+6bx+2c$
Ta có ${f}''\left( -1 \right)={f}''\left( 1 \right)\Leftrightarrow 12a-6b+2c=12a+6b+2c\Leftrightarrow b=0$
Với $b=0$ ta có ${f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)=4a{{x}^{3}}-12a{{x}^{2}}+2cx+d-2c$
Mặt khác, gọi $x=k$ là nghiệm của còn lại của phương trình ${f}'\left( x \right)={f}''\left( x \right)$, khi đó:
${f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)=4a\left( x-k \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=4a\left( x-k \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)=4a{{x}^{3}}-4ka{{x}^{2}}-4ax+4ka$
$\Rightarrow -4ka=-12a\Leftrightarrow k=3\Rightarrow {f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)=4a\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)$
Ta có $S=\int\limits_{-1}^{1}{\left[ {f}''\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right]\text{d}x}=-\int\limits_{-1}^{1}{4a\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\text{d}x}=8\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={f}''\left( x \right)$ là $S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| -2\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \right|\text{d}x}=16$.
Đáp án D.