Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+\left( 3-m \right)x$, với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị?
A. $25.$
B. $27.$
C. $26.$
D. $28.$
A. $25.$
B. $27.$
C. $26.$
D. $28.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+3-m.$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị dương phân biệt, hay phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Khi đó ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+3-m=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+3=m$ $\left( 1 \right).$
Yêu cầu bài toán là phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Xét hàm số $h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+3$
${h}'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-72x+60$ suy ra ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên của hàm số $y=h\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $3<m<31$, vậy có 27 giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị dương phân biệt, hay phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Khi đó ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+3-m=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+3=m$ $\left( 1 \right).$
Yêu cầu bài toán là phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Xét hàm số $h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+3$
${h}'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-72x+60$ suy ra ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên của hàm số $y=h\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $3<m<31$, vậy có 27 giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.