Cho hàm số $f\left( x...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + b (a, b \in R)

có 2 điểm cực trị A và B. Biết tam giác ABC vuông cân tại O (O là gốc tọa độ), giá trị của biểu thức

P = a^{2} + b^{2}

bằng
A. 25
B.

\frac{10}{3}

C. 40
D. 10

Ta có:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 a x + a^{2}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 4 a x + a^{2} = 0 (*)

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì

Δ^{'} = a^{2} > 0 \Leftrightarrow a \neq 0

Khi đó (*)

\Leftrightarrow [\begin{aligned} x = \frac{2 a + a}{3} = a \Rightarrow y = b \\ x = \frac{2 a - a}{3} = \frac{a}{3} \Rightarrow y = \frac{4 a^{3}}{27} + b \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} A (a; b) \\ B (\frac{a}{3}; \frac{4 a^{3}}{27} + b) \end{aligned}

Đặt

c = \frac{a}{3} \neq 0 \Rightarrow {\begin{aligned} A (3 c; b) \\ B (c; 4 c^{3} + b) \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} A B^{2} = 4 c^{2} + 16 c^{6} \\ O A^{2} = 9 c^{2} + b^{2} \\ O B^{2} = c^{2} + 16 c^{6} + 8 c^{3} b + b^{2} \end{aligned}

Tam giác OAB vuông cân

\Leftrightarrow {\begin{aligned} O A^{2} = O B^{2} \\ A B^{2} = 2 O A^{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} c^{2} = 2 c^{6} + c^{3} b \\ 8 c^{6} = 7 c^{2} + b^{2} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 2 c^{4} + b c = 1 \\ 8 c^{6} = 7 c^{2} + b^{2} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} b = 1; c = - 1 \\ b = - 1; c = 1 \end{aligned} \Rightarrow [\begin{aligned} b = 1; a = - 3 \\ b = - 1; a = 3 \end{aligned} \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} = 10

Đáp án D.