Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{m}^{2}}}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ sao cho $f\left( a \right)+f\left( b \right)=1$ với mọi số thực $a,$ $b$ thoả mãn ${{e}^{a+b}}\le e\left( a+b \right)$. Số các phần tử của $S$ là
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. Vô số.
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. Vô số.
${{e}^{a+b}}\le e\left( a+b \right)$ $\Leftrightarrow {{e}^{a+b-1}}\le a+b$ $\Leftrightarrow {{e}^{a+b-1}}-1\le a+b-1$ $\Leftrightarrow {{e}^{a+b-1}}-\left( a+b-1 \right)-1\le 0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{e}^{x}}-x-1$ với $x\in \mathbb{R}$.
${g}'\left( x \right)={{e}^{x}}-1$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1=0$ $x=0$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ :
Từ bảng biến thiên ta thấy $g\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {{e}^{a+b-1}}-\left( a+b-1 \right)-1\ge 0$ với mọi $a,$ $b\in \mathbb{R}$.
Vậy ${{e}^{a+b-1}}-\left( a+b-1 \right)-1=0$ $\Leftrightarrow a+b-1=0$ $\Leftrightarrow a+b=1$.
$\Rightarrow f\left( a \right)+f\left( b \right)=1$ $\Leftrightarrow f\left( a \right)+f\left( 1-a \right)=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{a}}}{{{3}^{a}}+{{m}^{2}}}+\dfrac{{{3}^{1-a}}}{{{3}^{1-a}}+{{m}^{2}}}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{a}}}{{{3}^{a}}+{{m}^{2}}}+\dfrac{3}{3+{{3}^{a}}{{m}^{2}}}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}{{t}^{2}}+6t+3{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}{{t}^{2}}+\left( {{m}^{4}}+3 \right)t+3{{m}^{2}}}=1$ ( với $t={{3}^{a}}>0$ )
$\Leftrightarrow 6t=\left( {{m}^{4}}+3 \right)t$ $\Leftrightarrow 6={{m}^{4}}+3$ $\Leftrightarrow {{m}^{4}}=3$ $\Leftrightarrow m=\pm \sqrt[4]{3}$.
Vậy tập $S$ có hai phần tử.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{e}^{x}}-x-1$ với $x\in \mathbb{R}$.
${g}'\left( x \right)={{e}^{x}}-1$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1=0$ $x=0$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ :
Từ bảng biến thiên ta thấy $g\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {{e}^{a+b-1}}-\left( a+b-1 \right)-1\ge 0$ với mọi $a,$ $b\in \mathbb{R}$.
Vậy ${{e}^{a+b-1}}-\left( a+b-1 \right)-1=0$ $\Leftrightarrow a+b-1=0$ $\Leftrightarrow a+b=1$.
$\Rightarrow f\left( a \right)+f\left( b \right)=1$ $\Leftrightarrow f\left( a \right)+f\left( 1-a \right)=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{a}}}{{{3}^{a}}+{{m}^{2}}}+\dfrac{{{3}^{1-a}}}{{{3}^{1-a}}+{{m}^{2}}}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{a}}}{{{3}^{a}}+{{m}^{2}}}+\dfrac{3}{3+{{3}^{a}}{{m}^{2}}}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}{{t}^{2}}+6t+3{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}{{t}^{2}}+\left( {{m}^{4}}+3 \right)t+3{{m}^{2}}}=1$ ( với $t={{3}^{a}}>0$ )
$\Leftrightarrow 6t=\left( {{m}^{4}}+3 \right)t$ $\Leftrightarrow 6={{m}^{4}}+3$ $\Leftrightarrow {{m}^{4}}=3$ $\Leftrightarrow m=\pm \sqrt[4]{3}$.
Vậy tập $S$ có hai phần tử.
Đáp án C.