Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-m{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+2019$ với m là tham số thực. Biết rằng hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi $a<{{m}^{2}}<b+2\sqrt{c}\ \left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$. Giá trị $T=a+b+c$ bằng:
A. 8.
B. 6.
C. 7
D. 5.
Hàm bậc 4 có nhiều nhất 3 cực trị, mà $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có nhiều hơn 5 cực trị suy ra hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 6 cực trị. Từ đó $f\left( x \right)$ có 3 cực trị đều có hoành độ dương, hay phương trình $f'\left( x \right)=g\left( x \right)=0$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Lại có $g\left( x \right)$ là hàm bậc 3 cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương, suy ra $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm dương và ${{g}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}.{{g}_{CT}}<0,g\left( 0 \right)<0$.
Ta có: $\begin{aligned}
& f'\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+1-{{m}^{2}}=g\left( x \right) \\
& g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow {{x}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}=m-1,{{x}_{CT}}=m+1$.
Nhận xét: ${{x}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}=m-1>{{x}_{1}}>0\Rightarrow m>1$.
(Giải hệ điều kiện: PP loại trừ).
$\begin{aligned}
& +\ g\left( 0 \right)<0\Rightarrow {{m}^{2}}-1>0\Rightarrow m>1 \\
& +\ {{g}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}=\left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}-3 \right)>0\Rightarrow m>\sqrt{3} \\
& +\ {{g}_{CT}}=\left( m+1 \right)\left( {{m}^{2}}-2m-1 \right)<0\Rightarrow m>1+\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Vậy giá trị cần tìm của m là: $\sqrt{3}<m<1+\sqrt{2}\Leftrightarrow 3<{{m}^{2}}<3+2\sqrt{2}\Rightarrow a=b=3,c=2.$
A. 8.
B. 6.
C. 7
D. 5.
Hàm bậc 4 có nhiều nhất 3 cực trị, mà $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có nhiều hơn 5 cực trị suy ra hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 6 cực trị. Từ đó $f\left( x \right)$ có 3 cực trị đều có hoành độ dương, hay phương trình $f'\left( x \right)=g\left( x \right)=0$ có ba nghiệm dương phân biệt.
Lại có $g\left( x \right)$ là hàm bậc 3 cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương, suy ra $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm dương và ${{g}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}.{{g}_{CT}}<0,g\left( 0 \right)<0$.
Ta có: $\begin{aligned}
& f'\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+1-{{m}^{2}}=g\left( x \right) \\
& g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow {{x}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}=m-1,{{x}_{CT}}=m+1$.
Nhận xét: ${{x}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}=m-1>{{x}_{1}}>0\Rightarrow m>1$.
(Giải hệ điều kiện: PP loại trừ).
$\begin{aligned}
& +\ g\left( 0 \right)<0\Rightarrow {{m}^{2}}-1>0\Rightarrow m>1 \\
& +\ {{g}_{\text{C }\!\!\S\!\!}}=\left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}-3 \right)>0\Rightarrow m>\sqrt{3} \\
& +\ {{g}_{CT}}=\left( m+1 \right)\left( {{m}^{2}}-2m-1 \right)<0\Rightarrow m>1+\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Vậy giá trị cần tìm của m là: $\sqrt{3}<m<1+\sqrt{2}\Leftrightarrow 3<{{m}^{2}}<3+2\sqrt{2}\Rightarrow a=b=3,c=2.$
Đáp án A.