Cho hàm số $f\left( x...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = e^{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}}

. Biết

f (1) . f (2) . f (3) . . . f (2020) = e^{\frac{m}{n}}

với

\frac{m}{n}

là phân số tối giản. Tính

m - n^{2}

.
A.

- 2020.

B. 2020.
C. 1.
D.

- 1.

Ta có

1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = {(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})}^{2} + \frac{2}{x (x + 1)} + 1 = {(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})}^{2} + 2 (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) + 1 = {(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + 1)}^{2}

Với

x > 0 \Rightarrow \frac{1}{x} > \frac{1}{x + 1} \Rightarrow \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + 1 \Rightarrow f (x) = e . e^{\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}}

Khi đó

f (1) . f (2) . f (3) . . . f (2020) = e^{2020} . e^{1 - \frac{1}{2}} . e^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} . e^{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} . . . e^{\frac{1}{2020} - \frac{1}{2021}} = e^{2020} . e^{1 - \frac{1}{2021}} = e^{2021 - \frac{1}{2021}}

.

\Rightarrow m = 2021^{2} - 1; n = 2021 \Rightarrow m - n^{2} = - 1

.

Đáp án D.