Cho hàm số $f\left( x...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 m x^{2} - m x - 2 m \sqrt{x^{2} - x + 1} + 2

(m là tham số thực). Biết

f (x) \geq 0, \forall x \in R

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

m \in \emptyset

B.

m \in (- \infty; - 1)

C.

m \in (0; \frac{5}{4})

D.

m \in (- 1; 1)

Dễ nhận ra

x = 1

là nghiệm của phương trình:

f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 m x^{2} - m x - 2 m \sqrt{x^{2} - x + 1} + 2 = 0

.
Vì

f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 m x^{2} - m x - 2 m \sqrt{x^{2} - x + 1} + 2 \geq 0, \forall x \in R

nên suy ra

x = 1

là nghiệm bội chẵn của phương trình

f (x) = 0

.
Do đó suy ra

f^{'} (1) = 0 \Leftrightarrow 8. {(1)}^{3} = 12. {(1)}^{2} + 6 m .1 - m - \frac{m (2.1 - 1)}{\sqrt{{(1)}^{2} - 1 + 1}} = 0 \Leftrightarrow m = 1

.
Thử lại với

m = 1

:
Ta có:

f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - x - 2 \sqrt{x^{2} - x + 1} + 2

= 2 x^{3} (x - 1) - x (x - 1) (2 x - 1) - 2 \frac{x (x - 1)}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + 1}

= x (x - 1) (2 x^{2} - 2 x + 1 - \frac{2}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + 1})

= x^{2} {(x - 1)}^{2} (2 + \frac{1}{{(\sqrt{x^{2} - x + 1} + 1)}^{2}}) \geq 0, \forall x \in R

.
Vậy giá trị m cần tìm là

m = 1

.

Đáp án C.