Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=2{{\text{x}}^{4}}-4{{\text{x}}^{3}}+3m{{\text{x}}^{2}}-m\text{x}-2m\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2$ (m là tham số thực). Biết $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $m\in \varnothing $
B. $m\in \left( -\infty ;-1 \right)$
C. $m\in \left( 0;\dfrac{5}{4} \right)$
D. $m\in \left( -1;1 \right)$
A. $m\in \varnothing $
B. $m\in \left( -\infty ;-1 \right)$
C. $m\in \left( 0;\dfrac{5}{4} \right)$
D. $m\in \left( -1;1 \right)$
Dễ nhận ra $x=1$ là nghiệm của phương trình: $f\left( x \right)=2{{\text{x}}^{4}}-4{{\text{x}}^{3}}+3m{{\text{x}}^{2}}-m\text{x}-2m\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2=0$.
Vì $f\left( x \right)=2{{\text{x}}^{4}}-4{{x}^{3}}+3m{{\text{x}}^{2}}-m\text{x}-2m\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2\ge 0,\forall \text{x}\in \mathbb{R}$ nên suy ra $x=1$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $f\left( x \right)=0$.
Do đó suy ra ${f}'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow 8.{{\left( 1 \right)}^{3}}=12.{{\left( 1 \right)}^{2}}+6m.1-m-\dfrac{m\left( 2.1-1 \right)}{\sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}-1+1}}=0\Leftrightarrow m=1$.
Thử lại với $m=1$ :
Ta có: $f\left( x \right)=2{{\text{x}}^{4}}-4{{\text{x}}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}-x-2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2$
$=2{{\text{x}}^{3}}\left( x-1 \right)-x\left( x-1 \right)\left( 2\text{x}-1 \right)-2\dfrac{x\left( x-1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1}$
$=x\left( x-1 \right)\left( 2{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}+1-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1} \right)$
$={{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2+\dfrac{1}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1 \right)}^{2}}} \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị m cần tìm là $m=1$.
Vì $f\left( x \right)=2{{\text{x}}^{4}}-4{{x}^{3}}+3m{{\text{x}}^{2}}-m\text{x}-2m\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2\ge 0,\forall \text{x}\in \mathbb{R}$ nên suy ra $x=1$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $f\left( x \right)=0$.
Do đó suy ra ${f}'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow 8.{{\left( 1 \right)}^{3}}=12.{{\left( 1 \right)}^{2}}+6m.1-m-\dfrac{m\left( 2.1-1 \right)}{\sqrt{{{\left( 1 \right)}^{2}}-1+1}}=0\Leftrightarrow m=1$.
Thử lại với $m=1$ :
Ta có: $f\left( x \right)=2{{\text{x}}^{4}}-4{{\text{x}}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}-x-2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2$
$=2{{\text{x}}^{3}}\left( x-1 \right)-x\left( x-1 \right)\left( 2\text{x}-1 \right)-2\dfrac{x\left( x-1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1}$
$=x\left( x-1 \right)\left( 2{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}+1-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1} \right)$
$={{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2+\dfrac{1}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1 \right)}^{2}}} \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị m cần tìm là $m=1$.
Đáp án C.