Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\sqrt[3]{7+3x}-\sqrt[3]{7-3x}+2019x.$ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện $f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)+f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)<0,$ $\forall x\in \left( 0;1 \right).$ Số phần tử của S là?
A. 7.
B. 3.
C. 9.
D. 5.
A. 7.
B. 3.
C. 9.
D. 5.
Vì $f\left( x \right)=\sqrt[3]{7+3x}-\sqrt[3]{7-3x}+2019x$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên ta có
$f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)<-f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)\Leftrightarrow \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right|<2{{x}^{2}}-2x+5$
$\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2x-5<{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m<2{{x}^{2}}-2x+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5<m \\
& {{x}^{3}}+x+5>m \\
\end{aligned} \right..$
Xét $g\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5$ và $h\left( x \right)={{x}^{3}}+x+5$ trên $\left( 0;1 \right)$ có bảng biến thiên là
Từ bảng biến thiên suy ra $f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)+f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m\ge -3 \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -3\le m\le 5.$
$f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)<-f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)\Leftrightarrow \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right|<2{{x}^{2}}-2x+5$
$\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2x-5<{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m<2{{x}^{2}}-2x+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5<m \\
& {{x}^{3}}+x+5>m \\
\end{aligned} \right..$
Xét $g\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5$ và $h\left( x \right)={{x}^{3}}+x+5$ trên $\left( 0;1 \right)$ có bảng biến thiên là
Từ bảng biến thiên suy ra $f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)+f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m\ge -3 \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -3\le m\le 5.$
Đáp án C.