Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right),y=f\left[ f\left( 2x-3 \right) \right]$ và $y=f\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)$ lần lượt có các đồ thị C1, C2, C3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của C1 là $y=x+3$, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của C2 là $y=8x+5.$ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị C3.
A. $y=4x+5.$
B. $y=16x+5.$
C. $y=20x-5$
D. $y=24x-7$
A. $y=4x+5.$
B. $y=16x+5.$
C. $y=20x-5$
D. $y=24x-7$
Ta có: $y=f[f(2x-3)]\Rightarrow {y}'=2{f}'\left( 2x-3 \right).{f}'\left[ f\left( 2x-3 \right) \right]$
$y=f\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)\Rightarrow {y}'=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)$
Phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
$y={f}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)=x+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=1 \\
& -{f}'\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=1 \\
& f\left( 1 \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm có hoành độ $x=2$ là:
$y=2{f}'\left( 1 \right).{f}'\left[ f\left( 1 \right) \right]\left( x-2 \right)+f\left[ f\left( 1 \right) \right]=2{f}'\left( 4 \right)\left( x-2 \right)+f\left( 4 \right)=8x+5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{f}'\left( 4 \right)=8 \\
& -4{f}'\left( 4 \right)+f\left( 4 \right)=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 4 \right)=4 \\
& f\left( 4 \right)=21 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình tiếp tuyến của (C3) tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
$y=4f\left( 4 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 4 \right)=16\left( x-1 \right)+21=16x+5$
$y=f\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)\Rightarrow {y}'=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)$
Phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
$y={f}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)=x+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=1 \\
& -{f}'\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=1 \\
& f\left( 1 \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm có hoành độ $x=2$ là:
$y=2{f}'\left( 1 \right).{f}'\left[ f\left( 1 \right) \right]\left( x-2 \right)+f\left[ f\left( 1 \right) \right]=2{f}'\left( 4 \right)\left( x-2 \right)+f\left( 4 \right)=8x+5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{f}'\left( 4 \right)=8 \\
& -4{f}'\left( 4 \right)+f\left( 4 \right)=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 4 \right)=4 \\
& f\left( 4 \right)=21 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình tiếp tuyến của (C3) tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
$y=4f\left( 4 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 4 \right)=16\left( x-1 \right)+21=16x+5$
Đáp án B.