Cho hàm số $f\left(x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\},$ có bảng biến thiên như sau: Hỏi đồ thị hàm số...

Phương pháp:
Dựa vào định ngĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=f\left(x \right).$
- Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}}.$
- Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=-\infty ,\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=-\infty ,\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=+\infty ,\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=-\infty .$
Cách giải:
Dựa vào BBT ta có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=2,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=-2,\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=-\infty ,\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty .$
Đặt $y=g\left(x \right)=\dfrac{1}{f\left(x \right)}$ ta có:
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left(x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{f\left(x \right)}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}$ là TCN của đồ thị hàm số $y=g\left(x \right)=\dfrac{1}{f\left(x \right)}.$
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g\left(x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{f\left(x \right)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$ là TCN của đồ thị hàm số $y=g\left(x \right)=\dfrac{1}{f\left(x \right)}.$
$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }} g\left(x \right)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{f\left(x \right)}=0\Rightarrow x=-1$ không là TCĐ của đồ thị hàm số $y=g\left(x \right)=\dfrac{1}{f\left(x \right)}.$
Xét phương trình $f\left(x \right)=0,$ dựa vào BBT ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn khác -1.
Do đó đồ thị hàm số $y=g\left(x \right)=\dfrac{1}{f\left(x \right)}$ có 2 TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left(x \right)=\dfrac{1}{f\left(x \right)}$ có tất cả 4 đường tiệm cận.