Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ -5;3 \right]$ có đồ thị như hình vẽ dưới. Biết diện tích các hình phẳng (A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ và trục hoành lần lượt bằng 6; 3; 12; 2. Tích phân $\int\limits_{-3}^{1}{\left[ 2f\left( 2x+1 \right)+1 \right]dx}$ bằng
A. 27.
B. 25.
C. 17.
D. 21.
A. 27.
B. 25.
C. 17.
D. 21.
Đặt $t=2x+1\Rightarrow dt=2dx$.
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3\Rightarrow t=-5 \\
& x=1\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $\int\limits_{-3}^{1}{\left[ 2f\left( 2x+1 \right)+1 \right]dx}=\int\limits_{-5}^{3}{\dfrac{2f\left( t \right)+1}{2}dt}=\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{-5}^{3}{\dfrac{1}{2}dt}=\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}+4$.
Để tính $\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}$ ta dùng diện tích các hình phẳng đã cho:
Quan sát đồ thị nhận thấy trên đoạn $\left[ -5;3 \right]$ thì đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ cắt trục hoành lần lượt tại các điểm có hoành độ $x=-5;x=a;x=b;x=c$ (với $-5<a<b<c<3$ ).
Trong đó $\int\limits_{-5}^{a}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-5}^{a}{\left| f\left( t \right) \right|dt}={{S}_{\left( A \right)}}=6$ và $\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=-\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( t \right) \right|dt}=-{{S}_{\left( B \right)}}=-3$.
$\int\limits_{b}^{c}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{b}^{c}{\left| f\left( t \right) \right|dt}={{S}_{\left( C \right)}}=12;\int\limits_{c}^{3}{f\left( t \right)dt}={{S}_{\left( D \right)}}=2$.
Vì vậy $\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-5}^{a}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{c}^{3}{f\left( t \right)dt}=6-3+12+2=17$.
Vậy tích phân cần tính bằng 17 + 4 = 21.
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3\Rightarrow t=-5 \\
& x=1\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $\int\limits_{-3}^{1}{\left[ 2f\left( 2x+1 \right)+1 \right]dx}=\int\limits_{-5}^{3}{\dfrac{2f\left( t \right)+1}{2}dt}=\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{-5}^{3}{\dfrac{1}{2}dt}=\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}+4$.
Để tính $\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}$ ta dùng diện tích các hình phẳng đã cho:
Quan sát đồ thị nhận thấy trên đoạn $\left[ -5;3 \right]$ thì đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ cắt trục hoành lần lượt tại các điểm có hoành độ $x=-5;x=a;x=b;x=c$ (với $-5<a<b<c<3$ ).
Trong đó $\int\limits_{-5}^{a}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-5}^{a}{\left| f\left( t \right) \right|dt}={{S}_{\left( A \right)}}=6$ và $\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=-\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( t \right) \right|dt}=-{{S}_{\left( B \right)}}=-3$.
$\int\limits_{b}^{c}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{b}^{c}{\left| f\left( t \right) \right|dt}={{S}_{\left( C \right)}}=12;\int\limits_{c}^{3}{f\left( t \right)dt}={{S}_{\left( D \right)}}=2$.
Vì vậy $\int\limits_{-5}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-5}^{a}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{c}^{3}{f\left( t \right)dt}=6-3+12+2=17$.
Vậy tích phân cần tính bằng 17 + 4 = 21.
Đáp án D.