Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên đoạn...

Đặt $t=2x+1\Rightarrow dt=2dx$.
Đổi cận: $\{\begin{array}{rl}& x=-3\Rightarrow t=-5\\ & x=1\Rightarrow t=3\end{array}$.
Do đó $\underset{-3}{\overset{1}{\int }}[2f(2x+1)+1]dx=\underset{-5}{\overset{3}{\int }}{\displaystyle \frac{2f\left(t\right)+1}{2}}dt=\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{-5}{\overset{3}{\int }}{\displaystyle \frac{1}{2}}dt=\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt+4$.
Để tính $\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt$ ta dùng diện tích các hình phẳng đã cho:
Quan sát đồ thị nhận thấy trên đoạn $[-5;3]$ thì đồ thị hàm số $f\left(x\right)$ cắt trục hoành lần lượt tại các điểm có hoành độ $x=-5;x=a;x=b;x=c$ (với $-5<a<b<c<3$ ).
Trong đó $\underset{-5}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{-5}{\overset{a}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=S_{\left(A\right)}=6$ và $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=-S_{\left(B\right)}=-3$.
$\underset{b}{\overset{c}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{b}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(t\right)\right|dt=S_{\left(C\right)}=12;\underset{c}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=S_{\left(D\right)}=2$.
Vì vậy $\underset{-5}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{-5}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{c}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=6-3+12+2=17$.
Vậy tích phân cần tính bằng 17 + 4 = 21.