Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm trên khoảng...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

xác định và có đạo hàm trên khoảng

(0; + \infty),

đồng thời thỏa mãn điều kiện

f (1) = 1 + e,

f (x) = e^{\frac{1}{x}} + x . f^{'} (x),

\forall x \in (0; + \infty) .

Giá trị của

f (2)

bằng
A.

1 + 2 \sqrt{e} .

B.

1 + \sqrt{e} .

C.

2 + 2 \sqrt{e} .

D.

2 + \sqrt{e} .

Ta có

f (x) = e^{\frac{1}{x}} + x . f^{'} (x) \Leftrightarrow \frac{f (x) - x f^{'} (x)}{x^{2}} = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} (x > 0)

\Leftrightarrow - {[\frac{f (x)}{x}]}^{'} = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \Leftrightarrow {[\frac{f (x)}{x}]}^{'} = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

\frac{f (x)}{x} = \int - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x = \int e^{\frac{1}{x}} d (\frac{1}{x}) = e^{\frac{1}{x}} + C

Thay

x = 1 \Rightarrow \frac{f (1)}{1} = e^{1} + C \Leftrightarrow 1 + e = e + C \Leftrightarrow C = 1

Thay

x = 2 \Rightarrow \frac{f (2)}{2} = e^{\frac{1}{2}} + 1 \Rightarrow f (2) = 2 \sqrt{e} + 2.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng...