Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right),$ đồng thời thỏa mãn điều kiện $f\left( 1 \right)=1+e,$ $f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{1}{x}}}+x.{f}'\left( x \right),$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$ Giá trị của $f\left( 2 \right)$ bằng
A. $1+2\sqrt{e}.$
B. $1+\sqrt{e}.$
C. $2+2\sqrt{e}.$
D. $2+\sqrt{e}.$
A. $1+2\sqrt{e}.$
B. $1+\sqrt{e}.$
C. $2+2\sqrt{e}.$
D. $2+\sqrt{e}.$
Ta có $f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{1}{x}}}+x.{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)-x{f}'\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}}\left( x>0 \right)$
$\Leftrightarrow -{{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}=\dfrac{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}=-\dfrac{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}}$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\dfrac{f\left( x \right)}{x}=\int{-\dfrac{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}}dx=\int{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}d\left( \dfrac{1}{x} \right)}}={{e}^{\dfrac{1}{x}}}+C$
Thay $x=1\Rightarrow \dfrac{f\left( 1 \right)}{1}={{e}^{1}}+C\Leftrightarrow 1+e=e+C\Leftrightarrow C=1$
Thay $x=2\Rightarrow \dfrac{f\left( 2 \right)}{2}={{e}^{\dfrac{1}{2}}}+1\Rightarrow f\left( 2 \right)=2\sqrt{e}+2.$
$\Leftrightarrow -{{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}=\dfrac{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}=-\dfrac{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}}$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\dfrac{f\left( x \right)}{x}=\int{-\dfrac{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}}dx=\int{{{e}^{\dfrac{1}{x}}}d\left( \dfrac{1}{x} \right)}}={{e}^{\dfrac{1}{x}}}+C$
Thay $x=1\Rightarrow \dfrac{f\left( 1 \right)}{1}={{e}^{1}}+C\Leftrightarrow 1+e=e+C\Leftrightarrow C=1$
Thay $x=2\Rightarrow \dfrac{f\left( 2 \right)}{2}={{e}^{\dfrac{1}{2}}}+1\Rightarrow f\left( 2 \right)=2\sqrt{e}+2.$
Đáp án C.