Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0; \pi \right]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\cos xdx=A}$, $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$ và $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}dx=\dfrac{2{{A}^{2}}}{\pi }}$, ở đó A là hằng số. Tính $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( 2x \right)dx}$ theo A.
A. 4A
B. $\dfrac{A}{2}$
C. $\dfrac{A}{\pi }$
D. ${{\pi }^{2}}A$
A. 4A
B. $\dfrac{A}{2}$
C. $\dfrac{A}{\pi }$
D. ${{\pi }^{2}}A$
Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có:
$A=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\cos xdx=f\left( x \right)\sin x}\left| _{0}^{\pi } \right.-\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx=-\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx}}$
Suy ra $\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx}=-A$
Ta lại có: $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx=\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4} \right)\left| _{0}^{\pi } \right.}=\dfrac{\pi }{2}$
Mặt khác, $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}dx}=\dfrac{2{{A}^{2}}}{\pi }$. Gọi X là số thực thỏa mãn
$\dfrac{2{{A}^{2}}}{\pi }+2\left( -A \right)X+{{X}^{2}}\dfrac{\pi }{2}=0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{\dfrac{2}{\pi }}A-X\sqrt{\dfrac{\pi }{2}} \right)}^{2}}=0\Rightarrow X=\dfrac{2\text{A}}{\pi }$
Từ đó ta có:
$\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}dx+2\dfrac{2\text{A}}{\pi }}\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx+\dfrac{4{{A}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}xdx}=0$ hay $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x \right)}^{2}}dx}=0$
Do ${f}'\left( x \right)$, sinx liên tục nên ${{\left( {f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x \right)}^{2}}$ không âm, liên tục và
$\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x \right)}^{2}}dx}=0$ do đó ${f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x=0$ trên $\left[ 0, \pi \right]$
Hay ${f}'\left( x \right)=-\dfrac{2A}{\pi }\sin x$ trên $\left[ 0, \pi \right]$.
Lấy nguyên hàm hai vế trên $\left[ 0, \pi \right]$, ta có: $f\left( x \right)=\dfrac{2A}{\pi }\cos x+C$ với $\forall x\in \left[ 0, \pi \right]$.
Theo giả thiết $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$ nên $C=0$. Vậy $f\left( x \right)=\dfrac{2\text{A}}{\pi }\cos x$ với $\forall x\in \left[ 0, \pi \right]$.
Khi đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( 2x \right)}dx=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{2A}{\pi }\cos 2x}dx=\dfrac{A}{\pi }\sin 2x\left| _{0}^{\dfrac{\pi }{4}} \right.=\dfrac{A}{\pi }$.
$A=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\cos xdx=f\left( x \right)\sin x}\left| _{0}^{\pi } \right.-\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx=-\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx}}$
Suy ra $\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx}=-A$
Ta lại có: $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{1-\cos 2x}{2}dx=\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4} \right)\left| _{0}^{\pi } \right.}=\dfrac{\pi }{2}$
Mặt khác, $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}dx}=\dfrac{2{{A}^{2}}}{\pi }$. Gọi X là số thực thỏa mãn
$\dfrac{2{{A}^{2}}}{\pi }+2\left( -A \right)X+{{X}^{2}}\dfrac{\pi }{2}=0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{\dfrac{2}{\pi }}A-X\sqrt{\dfrac{\pi }{2}} \right)}^{2}}=0\Rightarrow X=\dfrac{2\text{A}}{\pi }$
Từ đó ta có:
$\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}dx+2\dfrac{2\text{A}}{\pi }}\int\limits_{0}^{\pi }{{f}'\left( x \right)\sin xdx+\dfrac{4{{A}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}xdx}=0$ hay $\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x \right)}^{2}}dx}=0$
Do ${f}'\left( x \right)$, sinx liên tục nên ${{\left( {f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x \right)}^{2}}$ không âm, liên tục và
$\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( {f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x \right)}^{2}}dx}=0$ do đó ${f}'\left( x \right)+\dfrac{2A}{\pi }\sin x=0$ trên $\left[ 0, \pi \right]$
Hay ${f}'\left( x \right)=-\dfrac{2A}{\pi }\sin x$ trên $\left[ 0, \pi \right]$.
Lấy nguyên hàm hai vế trên $\left[ 0, \pi \right]$, ta có: $f\left( x \right)=\dfrac{2A}{\pi }\cos x+C$ với $\forall x\in \left[ 0, \pi \right]$.
Theo giả thiết $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$ nên $C=0$. Vậy $f\left( x \right)=\dfrac{2\text{A}}{\pi }\cos x$ với $\forall x\in \left[ 0, \pi \right]$.
Khi đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( 2x \right)}dx=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{2A}{\pi }\cos 2x}dx=\dfrac{A}{\pi }\sin 2x\left| _{0}^{\dfrac{\pi }{4}} \right.=\dfrac{A}{\pi }$.
Đáp án C.