Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định và có đạo hàm liên tục...

Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có:
$A=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cos xdx=f\left(x\right)\sin x|{}_0^{\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\sin xdx=-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\sin xdx$
Suy ra $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\sin xdx=-A$
Ta lại có: $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}dx=({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\sin 2x}{4}})|{}_0^{\pi }={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
Mặt khác, $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)}^{2}dx={\displaystyle \frac{2A^2}{\pi }}$. Gọi X là số thực thỏa mãn
${\displaystyle \frac{2A^2}{\pi }}+2(-A)X+X^2{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0\iff {(\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{\pi }}}A-X\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}})}^2=0\Rightarrow X={\displaystyle \frac{2\text{A}}{\pi }}$
Từ đó ta có:
$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)}^{2}dx+2{\displaystyle \frac{2\text{A}}{\pi }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\sin xdx+{\displaystyle \frac{4A^2}{{\pi }^2}}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx=0$ hay $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{(f^{\prime }\left(x\right)+{\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\sin x)}^{2}dx=0$
Do $f^{\prime }\left(x\right)$, sinx liên tục nên ${(f^{\prime }\left(x\right)+{\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\sin x)}^2$ không âm, liên tục và
$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{(f^{\prime }\left(x\right)+{\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\sin x)}^{2}dx=0$ do đó $f^{\prime }\left(x\right)+{\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\sin x=0$ trên $[0,\pi ]$
Hay $f^{\prime }\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\sin x$ trên $[0,\pi ]$.
Lấy nguyên hàm hai vế trên $[0,\pi ]$, ta có: $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\cos x+C$ với $\mathrm{\forall }x\in [0,\pi ]$.
Theo giả thiết $f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$ nên $C=0$. Vậy $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\text{A}}{\pi }}\cos x$ với $\mathrm{\forall }x\in [0,\pi ]$.
Khi đó $\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\int }}f\left(2x\right)dx=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\int }}{\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\cos 2xdx={\displaystyle \frac{A}{\pi }}\sin 2x|{}_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}={\displaystyle \frac{A}{\pi }}$.