Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1 ; 3 \right]$, $f\left( x \right)\ne 0$ với mọi $x\in \left[ 1 ;3 \right]$, đồng thời ${f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}$ và $f\left( 1 \right)=-1$. Biết rằng $\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln 3+b \left( a\in \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z} \right)$, tính tổng $S=a+{{b}^{2}}$.
A. $S=0$.
B. $S=2$.
C. $S=-1$.
D. $S=4$.
A. $S=0$.
B. $S=2$.
C. $S=-1$.
D. $S=4$.
Với $x\in \left[ 1; 3 \right]$ ta có: ${f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}$.
$ \Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}+\dfrac{2}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}+\dfrac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}} \right){f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1$
Suy ra: $-\dfrac{1}{3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}-\dfrac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}-\dfrac{1}{f\left( x \right)}=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x+C$ (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow \dfrac{1}{3}-1+1=\dfrac{1}{3}-1+1+C\Rightarrow C=0$.
Dẫn đến: $-\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{3}}-{{\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{f\left( x \right)}=-\dfrac{1}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-{{\left( -x \right)}^{2}}-\left( -x \right) \left( * \right)$.
Vì hàm số $g\left( t \right)=-\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-t$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( * \right)\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}=-x\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{1}{x}$.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó $\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\left( -\dfrac{1}{x} \right)\text{d}x=-}\ln 3\Rightarrow a=-1, b=0$. Vậy $S=a+{{b}^{2}}=-1$.
$ \Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}+\dfrac{2}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}+\dfrac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}} \right){f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1$
Suy ra: $-\dfrac{1}{3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}-\dfrac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}-\dfrac{1}{f\left( x \right)}=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x+C$ (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow \dfrac{1}{3}-1+1=\dfrac{1}{3}-1+1+C\Rightarrow C=0$.
Dẫn đến: $-\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{3}}-{{\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{f\left( x \right)}=-\dfrac{1}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-{{\left( -x \right)}^{2}}-\left( -x \right) \left( * \right)$.
Vì hàm số $g\left( t \right)=-\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-t$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( * \right)\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}=-x\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{1}{x}$.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó $\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\left( -\dfrac{1}{x} \right)\text{d}x=-}\ln 3\Rightarrow a=-1, b=0$. Vậy $S=a+{{b}^{2}}=-1$.
Đáp án C.