Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x...

The Knowledge · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

xác định và có đạo hàm

f^{'} (x)

liên tục trên đoạn

[1; 3]

và

f (x) \neq 0

với mọi

x \in [1; 3]

, đồng thời

f^{'} (x) + {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}

và

f (1) = - 1.

Biết rằng

\int_{1}^{3} f (x) d x = a \ln 3 + b, a, b \in Z .

Tính tổng

S = a + b^{2} .

A.

S = - 1.

B.

S = 2.

C.

S = 0.

D.

S = - 4.

Ta có:

f^{'} (x) {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} = {(x - 1)}^{2.}

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

\int \frac{f^{'} (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x

\begin{aligned} \Leftrightarrow \int \frac{(1 + 2 f (x) + f^{2} (x)) f^{'} (x)}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x \\ \Leftrightarrow \int (\frac{1}{f^{4} (x)} + 2 \frac{1}{f^{3} (x)} + \frac{1}{f^{2} (x)}) d (f (x)) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ \Leftrightarrow - \frac{1}{3 f^{3} (x)} - \frac{1}{f^{2} (x)} - \frac{1}{f (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ \Leftrightarrow - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \end{aligned}

Mà

f (1) = - 1 \Rightarrow - \frac{1 - 3 + 3}{- 3} = C \Rightarrow C = \frac{1}{3}

.

\begin{aligned} \Rightarrow - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} + \frac{1}{3} = - \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{{(1 + f (x))}^{3}}{f^{3} (x)} = - {(x - 1)}^{3} \\ \Leftrightarrow {(1 + \frac{1}{f (x)})}^{3} = {(1 - x)}^{3} \\ \Leftrightarrow f (x) = \frac{- 1}{x} . \end{aligned}

Vậy

\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} \frac{- 1}{x} d x = - \ln | x | | \begin{aligned} 3 \\ 1 \end{aligned} = - \ln 3

. Suy ra

a = - 1; b = 0

hay

a + b = - 1

.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm $f'\left( x...