Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ 1;+\infty \right)$, biết $x.f'\left( x \right)-2\sqrt{\ln x}=0,\ f\left( \sqrt[4]{e} \right)=2$. Giá trị $f\left( e \right)$ bằng:
A. $\dfrac{5}{3}$
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $\dfrac{10}{3}$
D. $\dfrac{19}{6}$
A. $\dfrac{5}{3}$
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $\dfrac{10}{3}$
D. $\dfrac{19}{6}$
Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ 1;+\infty \right)$ nên $x.f'\left( x \right)-2\sqrt{\ln x}=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2\sqrt{\ln x}}{x}\ \ \left( 1 \right)$.
Lấy tích phân hai vế (1) trên đoạn $\left[ \sqrt[4]{e};e \right]$, ta được:
$\begin{aligned}
& \int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{\dfrac{2\sqrt{\ln x}}{x}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{f'\left( x \right)dx}=2\int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{\sqrt{\ln x}\ d\left( \ln x \right)} \\
& \Leftrightarrow f\left( e \right)-f\left( \sqrt[4]{e} \right)=\dfrac{4}{3}\sqrt{{{\ln }^{3}}x}\left| _{\sqrt[4]{e}}^{e}\Leftrightarrow f\left( e \right)=\dfrac{7}{6}+2=\dfrac{19}{6} \right. \\
\end{aligned}$
Lấy tích phân hai vế (1) trên đoạn $\left[ \sqrt[4]{e};e \right]$, ta được:
$\begin{aligned}
& \int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{\dfrac{2\sqrt{\ln x}}{x}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{f'\left( x \right)dx}=2\int\limits_{\sqrt[4]{e}}^{e}{\sqrt{\ln x}\ d\left( \ln x \right)} \\
& \Leftrightarrow f\left( e \right)-f\left( \sqrt[4]{e} \right)=\dfrac{4}{3}\sqrt{{{\ln }^{3}}x}\left| _{\sqrt[4]{e}}^{e}\Leftrightarrow f\left( e \right)=\dfrac{7}{6}+2=\dfrac{19}{6} \right. \\
\end{aligned}$
Đáp án D.