Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $\left[ 1;+\infty...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

xác định trên

[1; + \infty)

, biết

x . f^{'} (x) - 2 \sqrt{\ln x} = 0, f (\sqrt[4]{e}) = 2

. Giá trị

f (e)

bằng:
A.

\frac{5}{3}

B.

\frac{8}{3}

C.

\frac{10}{3}

D.

\frac{19}{6}

Hàm số

f (x)

xác định trên

[1; + \infty)

nên

x . f^{'} (x) - 2 \sqrt{\ln x} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = \frac{2 \sqrt{\ln x}}{x} (1)

.
Lấy tích phân hai vế (1) trên đoạn

[\sqrt[4]{e}; e]

, ta được:

\begin{aligned} \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} f^{'} (x) d x = \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} \frac{2 \sqrt{\ln x}}{x} d x \Leftrightarrow \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} f^{'} (x) d x = 2 \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} \sqrt{\ln x} d (\ln x) \\ \Leftrightarrow f (e) - f (\sqrt[4]{e}) = \frac{4}{3} \sqrt{\ln^{3} x} |_{\sqrt[4]{e}}^{e} \Leftrightarrow f (e) = \frac{7}{6} + 2 = \frac{19}{6} \end{aligned}

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) xác định trên $\left[ 1;+\infty...