Cho hàm số $f (x)$ xác định, có đạo hàm, liên tục và...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên

[1; 4]

thỏa mãn

x + 2 x f (x) = {[f^{'} (x)]}^{2}, \forall x \in [1; 4], f (1) = \frac{3}{2} .

Giá trị

f (4)

bằng:
A.

\frac{391}{18} .

B.

\frac{361}{18} .

C.

\frac{381}{18} .

D.

\frac{371}{18} .

HD: Vì

y = f (x)

là hàm số đồng biến trên

[1; 4] \Rightarrow f (x) \geq f (1) = \frac{3}{2} > 0.

Khi đó

x + 2 x . f (x) = {[f^{'} (x)]}^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x . [2 f (x) + 1]} = f^{'} (x) \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} = \sqrt{x} (*) .

Lấy nguyên hàm hai vế của

(*),

ta được

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C (1) .

Đặt

t = \sqrt{2 f (x) + 1} \Leftrightarrow d t = \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x \Rightarrow \int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int d t = t (2) .

Từ (1), (2) suy ra

\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C

mà

f (1) = \frac{3}{2} \Rightarrow \sqrt{2. \frac{3}{2} + 1} = C + \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = \frac{4}{3} .

Do đó

\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{2} [{(\frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3})}^{2} - 1] .

Vậy

f (4) = \frac{391}{18} .

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) xác định, có đạo hàm, liên tục và...