Cho hàm số $f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ biết...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}

biết

\int_{0}^{1} \frac{f (x)}{f (- x)} d x = a + b \sqrt{c}

với

a, b, c

là các số hữu tỷ tối giãn. Tính giá trị

P = a + b + c

.
A.

P = \frac{13}{3}

.
B.

P = \frac{15}{3}

.
C.

P = \frac{10}{3}

.
D.

P = \frac{11}{3}

.

Tập xác định:

D = R

.
Ta có:

f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow f (- x) = - x + \sqrt{x^{2} + 1} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{f (x)}

.
Vậy

\frac{f (x)}{f (- x)} = {(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{2} = 2 x^{2} + 1 + 2 x \sqrt{x^{2} + 1}

.
Khi đó:

\int_{0}^{1} (2 x^{2} + 1 + 2 x \sqrt{x^{2} + 1}) d x = \int_{0}^{1} (2 x^{2} + 1) d x + \int_{0}^{1} (2 x \sqrt{x^{2} + 1}) d x = \frac{5}{3} + \int_{0}^{1} ({(x^{2} + 1)}^{'} \sqrt{x^{2} + 1}) d x

$$

= \frac{5}{3} + \int_{0}^{1} (\sqrt{x^{2} + 1}) d (x^{2} + 1) = \frac{5}{3} + {\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} |}_{0}^{1} = \frac{5}{3} + \frac{4 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} = 1 + \frac{4}{3} . \sqrt{2}

.
Vậy

a = 1; b = \frac{4}{3}; c = 2

khi đó

P = a + b + c = \frac{13}{3}

.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x)=x+x2+1 biết...