Cho hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{4}}-\left( 5-{{m}^{2}}...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = - x^{4} - (5 - m^{2}) x + 2023

và

g (x) = - x^{3} + 5 x^{2} - 2022 x + 2023

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

h (x) = g [f (x)]

đồng biến trên khoảng

(1; + \infty)

?
A.

7

.
B.

5

.
C.

6

.
D.

8

.

f^{'} (x) = - 4 x^{3} - (5 - m^{2})

g^{'} (x) = - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 2022 < 0 \forall x \in (1; + \infty)

h^{'} (x) = {(g [f (x)])}^{'} = f^{'} (x) . g^{'} [f (x)]

Để hàm số đồng biến trên khoảng

(1; + \infty)

thì

h^{'} (x) > 0; \forall x \in (1; + \infty)

\begin{aligned} \Rightarrow f^{'} (x) . g^{'} [f (x)] > 0; \forall x \in (1; + \infty) \\ \Rightarrow f^{'} (x) < 0; \forall x \in (1; + \infty) \\ \Rightarrow - 4 x^{3} - (5 - m^{2}) < 0; \forall x \in (1; + \infty) \\ \Rightarrow - 4 x^{3} < (5 - m^{2}); \forall x \in (1; + \infty) \end{aligned}

Xét hàm:

K (x) = - 4 x^{3} \Rightarrow K^{'} (x) = - 12 x^{2}

K^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 12 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng biến thiên

- 4 x^{3} < (5 - m^{2}); \forall x \in (1; + \infty)

\Leftrightarrow 5 - m^{2} \geq - 4 \Leftrightarrow m^{2} \leq 9 \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 3

.
Vậy có

7

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn bài toán.

Đáp án A.