Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{4}}-\left( 17-{{m}^{2}} \right)x+2023$ và $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2022x+2023$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $h\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$
A. $16$.
B. $13$.
C. $15$.
D. $14$.
A. $16$.
B. $13$.
C. $15$.
D. $14$.
Ta có ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{g}'\left( f\left( x \right) \right)$ $=\left( 4{{x}^{3}}+17-{{m}^{2}} \right)\left( 3{{f}^{2}}\left( x \right)-10f\left( x \right)+2022 \right)$.
Để hàm số $h\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ cần:
${h}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ $\left( 4{{x}^{3}}+17-{{m}^{2}} \right)\ge 0$ vì $\left( 3{{f}^{2}}\left( x \right)-10f\left( x \right)+2022 \right)>0, \forall x>2$
Suy ra ${{m}^{2}}\le 4{{x}^{3}}+17$.(*)
Xét hàm số $k\left( x \right)=4{{x}^{3}}+17$ ta có
$k'\left( x \right)=12{{x}^{2}}>0, \forall x>2$. Suy ra hàm số $k\left( x \right)=4{{x}^{3}}+17$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$.
(*) $\Rightarrow {{m}^{2}}\le \underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} k\left( x \right)=49\Rightarrow -7\le m\le 7$
Vậy có $15$ giá trị của $m$.
Để hàm số $h\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ cần:
${h}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ $\left( 4{{x}^{3}}+17-{{m}^{2}} \right)\ge 0$ vì $\left( 3{{f}^{2}}\left( x \right)-10f\left( x \right)+2022 \right)>0, \forall x>2$
Suy ra ${{m}^{2}}\le 4{{x}^{3}}+17$.(*)
Xét hàm số $k\left( x \right)=4{{x}^{3}}+17$ ta có
$k'\left( x \right)=12{{x}^{2}}>0, \forall x>2$. Suy ra hàm số $k\left( x \right)=4{{x}^{3}}+17$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$.
(*) $\Rightarrow {{m}^{2}}\le \underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} k\left( x \right)=49\Rightarrow -7\le m\le 7$
Vậy có $15$ giá trị của $m$.
Đáp án C.