Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( b,c\in \mathbb{R} \right)$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):y=g\left( x \right)$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}=1$. Biết $\left( d \right)$ và $\left( C \right)$ còn hai điểm chung khác có hoành độ là ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$ và $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{g\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx=\dfrac{4}{3}}$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $\left( d \right)$.
A. $\dfrac{29}{5}$.
B. $\dfrac{28}{5}$.
C. $\dfrac{143}{5}$.
D. $\dfrac{43}{5}$.
A. $\dfrac{29}{5}$.
B. $\dfrac{28}{5}$.
C. $\dfrac{143}{5}$.
D. $\dfrac{43}{5}$.
Theo giả thiết ta có: $f\left( x \right)-g\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}-mx+n \left( * \right)$
Ta có: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx=}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)dx=}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}+{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)dx}$
$\begin{aligned}
& =\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]dx=}\left. \left( \dfrac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}+\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\dfrac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}{2} \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \\
& =\dfrac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}-\dfrac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{2}=-\dfrac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{6}=\dfrac{-4}{3} \\
\end{aligned}$
Suy ra ${{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2 \left( 1 \right)$
Mặt khác theo định lí viet bậc 4 của phương trình (*) ta được:
$1+1+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}+{{x}_{1}}=-2 \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=0 \\
& {{x}_{1}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $\left( d \right)$ là:
$S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)x \right|}dx=\dfrac{29}{5}$.
Ta có: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx=}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)dx=}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}+{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)dx}$
$\begin{aligned}
& =\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]dx=}\left. \left( \dfrac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}+\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\dfrac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}{2} \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \\
& =\dfrac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}-\dfrac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{2}=-\dfrac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{6}=\dfrac{-4}{3} \\
\end{aligned}$
Suy ra ${{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2 \left( 1 \right)$
Mặt khác theo định lí viet bậc 4 của phương trình (*) ta được:
$1+1+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}+{{x}_{1}}=-2 \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=0 \\
& {{x}_{1}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $\left( d \right)$ là:
$S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)x \right|}dx=\dfrac{29}{5}$.
Đáp án A.