Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( b,c\in...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = x^{4} + b x^{2} + c (b, c \in R)

có đồ thị là đường cong

(C)

và đường thẳng

(d) : y = g (x)

tiếp xúc với

(C)

tại điểm

x_{0} = 1

. Biết

(d)

và

(C)

còn hai điểm chung khác có hoành độ là

x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})

và

\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{g (x) - f (x)}{{(x - 1)}^{2}} d x = \frac{4}{3}

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

(C)

và đường thẳng

(d)

.
A.

\frac{29}{5}

.
B.

\frac{28}{5}

.
C.

\frac{143}{5}

.
D.

\frac{43}{5}

.

Theo giả thiết ta có:

f (x) - g (x) = {(x - 1)}^{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) = x^{4} + b x^{2} - m x + n (*)

Ta có:

\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{f (x) - g (x)}{{(x - 1)}^{2}} d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (x - x_{1}) (x - x_{2}) d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (x - x_{1}) (x - x_{1} + x_{1} - x_{2}) d x

\begin{aligned} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} [{(x - x_{1})}^{2} + (x - x_{1}) (x_{1} - x_{2})] d x = {(\frac{{(x - x_{1})}^{3}}{3} + (x_{1} - x_{2}) \frac{{(x - x_{1})}^{2}}{2}) |}_{x_{1}}^{x_{2}} \\ = \frac{{(x_{2} - x_{1})}^{3}}{3} - \frac{{(x_{2} - x_{1})}^{3}}{2} = - \frac{{(x_{2} - x_{1})}^{3}}{6} = \frac{- 4}{3} \end{aligned}

Suy ra

{(x_{2} - x_{1})}^{3} = 8 \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 2 (1)

Mặt khác theo định lí viet bậc 4 của phương trình (*) ta được:

1 + 1 + x_{2} + x_{1} = 0 \Leftrightarrow x_{2} + x_{1} = - 2 (2)

Từ

(1), (2)

\Rightarrow {\begin{aligned} x_{2} = 0 \\ x_{1} = - 2 \end{aligned}

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

(C)

và đường thẳng

(d)

là:

S = \int_{- 2}^{1} | {(x - 1)}^{2} (x + 2) x | d x = \frac{29}{5}

.

Đáp án A.