Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các phần tử của tập $S$.
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 0.
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 0.
Xét $f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1$, có ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x,\forall x\in \mathbb{R}$.
Phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vì hệ số $a=1>0$ nên để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
Phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow {{{\Delta }'}_{\left( * \right)}}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le \dfrac{1+\sqrt{7}}{3}$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m=\left\{ 0;1 \right\}\Rightarrow \sum{m}=1$.
Phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vì hệ số $a=1>0$ nên để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
Phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow {{{\Delta }'}_{\left( * \right)}}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le \dfrac{1+\sqrt{7}}{3}$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m=\left\{ 0;1 \right\}\Rightarrow \sum{m}=1$.
Đáp án A.