Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = x^{4} + 4 m x^{3} + 3 (m + 1) x^{2} + 1

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m

để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các phần tử của tập

S

.
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 0.

Xét

f (x) = x^{4} + 4 m x^{3} + 3 (m + 1) x^{2} + 1

, có

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 12 m x^{2} + 6 (m + 1) x, \forall x \in R

.
Phương trình

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x (2 x^{2} + 6 m x + 3 m + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ 2 x^{2} + 6 m x + 3 m + 3 = 0 (*) \end{aligned}

.
Vì hệ số

a = 1 > 0

nên để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
Phương trình

(*)

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

\Leftrightarrow {Δ^{'}}_{(*)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{7}}{3} \leq m \leq \frac{1 + \sqrt{7}}{3}

.
Kết hợp

m \in Z

, ta được

m = {0; 1} \Rightarrow \sum m = 1

.

Đáp án A.