Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ sao cho $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|<3\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|$. Tổng các phân tử của S bằng
A. 63.
B. 51.
C. 195.
D. 23.
A. 63.
B. 51.
C. 195.
D. 23.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$
Ta có: ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=m-1$ ; $f\left( 2 \right)=m+8$ ; $f\left( 0 \right)=m$.
$\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=m+8$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-1$.
- Nếu $m-1\ge 0\Leftrightarrow m\ge 1$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=m+8$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=m-1$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|<3\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\Leftrightarrow 8+m<3\left( m-1 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{11}{2}$.
- Nếu $m+8\le 0\Leftrightarrow m\le -8$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=1-m$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=-m-8$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|<3\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\Leftrightarrow 1-m<3\left( -m-8 \right)\Leftrightarrow m<-\dfrac{25}{2}$
- Nếu $\left( m-1 \right)\left( m+8 \right)<0\Leftrightarrow -8<m<1$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| m+8 \right|,\left| 1-m \right| \right\}=\max \left\{ m+8,1-m \right\}$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0$.
Khi đó, không thỏa mãn điều kiện $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|<3\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|$
Do đó: $\left[ \begin{aligned}
& m<-\dfrac{25}{2} \\
& m>\dfrac{11}{2} \\
\end{aligned} \right. $ kết hợp với $ m\in \left[ -20;20 \right] $ ta có $ m\in \left[ -20;-\dfrac{25}{2} \right)\cup \left( \dfrac{11}{2};20 \right]$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow S=\left\{ -20;-19;-18;...;-13;6;7;...;20 \right\}$.
Tổng các phần tử của S bằng $6+7+8+9+10+11+12=63$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=m-1$ ; $f\left( 2 \right)=m+8$ ; $f\left( 0 \right)=m$.
$\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=m+8$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-1$.
- Nếu $m-1\ge 0\Leftrightarrow m\ge 1$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=m+8$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=m-1$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|<3\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\Leftrightarrow 8+m<3\left( m-1 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{11}{2}$.
- Nếu $m+8\le 0\Leftrightarrow m\le -8$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=1-m$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=-m-8$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|<3\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\Leftrightarrow 1-m<3\left( -m-8 \right)\Leftrightarrow m<-\dfrac{25}{2}$
- Nếu $\left( m-1 \right)\left( m+8 \right)<0\Leftrightarrow -8<m<1$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| m+8 \right|,\left| 1-m \right| \right\}=\max \left\{ m+8,1-m \right\}$ ; $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0$.
Khi đó, không thỏa mãn điều kiện $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|<3\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|$
Do đó: $\left[ \begin{aligned}
& m<-\dfrac{25}{2} \\
& m>\dfrac{11}{2} \\
\end{aligned} \right. $ kết hợp với $ m\in \left[ -20;20 \right] $ ta có $ m\in \left[ -20;-\dfrac{25}{2} \right)\cup \left( \dfrac{11}{2};20 \right]$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow S=\left\{ -20;-19;-18;...;-13;6;7;...;20 \right\}$.
Tổng các phần tử của S bằng $6+7+8+9+10+11+12=63$.
Đáp án A.